월성동 중2수학과외

월성동 중2수학과외에서 거꾸로 확인한 유한소수의 조건

월성동과외 수업에서 학생은 기약분수의 분모를 보고 유한소수인지 판단하는 문제를 풀고 있었다. 조암중학교가 포함된 생활권의 문제를 참고해 만든 문항에서 학생은 다음과 같이 적었다.

18/45 = 2/5, 분모가 5이므로 유한소수이다.

이 판단은 맞았다. 그러나 이어진 문제에서 학생은 24/60을 보고 “분모에 2와 5만 있으므로 유한소수”라고 바로 표시했다. 실제로 결론은 유한소수였지만, 풀이 과정을 거꾸로 읽어 보니 같은 방식으로 판단하면 틀릴 수 있는 지점이 드러났다.

정답이 아니라 첫 판단부터 되짚기

학생은 친구가 완성한 풀이를 아래에서부터 읽었다. 소수로 바꾼 결과가 0.4로 끝나는지 확인한 뒤, 24/60에서 약분한 줄로 올라갔다. 그다음 분수의 처음 줄에서 멈춰 연필로 표시했다.

분모 60 = 2²×3×5인데, 2와 5가 있으니 유한소수.

여기서 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 결과가 틀린 것이 아니었다. 약분하기 전 분모 60의 인수만 보고 결론을 내린 것이었다. 분모에 3이 남아 있는 것처럼 보이지만, 분자 24와 공약수를 먼저 없애면 분모가 5가 된다. 반대로 약분 뒤에도 3이 남는다면 유한소수가 될 수 없다. 따라서 분모의 인수를 확인하는 일은 반드시 기약분수로 만든 뒤에 해야 한다.

한 줄만 고쳐 풀이 순서를 세우다

학생은 이미 적어 둔 소인수분해와 약분 계산을 모두 지우지 않았다. 첫 줄 앞에 작은 화살표를 그리고 다음 문장을 덧붙였다.

① 분자와 분모를 먼저 약분한다. ② 기약분수의 분모를 소인수분해한다. ③ 2와 5만 남으면 유한소수, 다른 소인수가 남으면 순환소수이다.

이후 42/70을 다시 풀 때 학생은 먼저 42와 70을 14로 나누어 3/5를 만들었다. 분모 5를 5¹로 적고, 다른 소인수가 없으므로 유한소수라고 판단했다. 반대로 14/45에서는 더 약분되지 않는지 확인한 뒤 45=3²×5라고 적었다. 3이 남으므로 유한소수가 아니라 순환소수라고 설명했다. 소수 전개를 길게 이어 쓰기 전에 분모 조건으로 판단한 점도 확인했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

다음 문제는 분수식이 아니라 카드 세 장에 적힌 수를 분류하는 형식이었다.

• 카드 ㄱ: 36/90
• 카드 ㄴ: 7/20
• 카드 ㄷ: 11/30

학생은 표의 첫 열에 ‘약분 전 분모’, 둘째 열에 ‘기약분수’, 셋째 열에 ‘기약분수 분모의 인수’를 적었다. ㄱ은 2/5로 고쳐 분모에 5만 남으므로 유한소수, ㄴ은 그대로 7/20이고 20=2²×5이므로 유한소수, ㄷ은 그대로 11/30이며 30=2×3×5이므로 3이 남아 순환소수라고 분류했다.

질문 방향을 바꾸어 “유한소수가 되지 않는 카드를 고르고 이유를 쓰라”고 하자 학생은 ㄷ을 고른 뒤, “약분한 뒤의 분모에 3이 남으므로 2와 5만으로 이루어지지 않는다”고 답했다. 단순히 숫자를 바꾼 문제가 아니라 분류표와 설명형 질문으로 바뀌었지만, 학생은 처음에 세운 판단 기준을 그대로 적용했다.

가린 풀이에서 스스로 찾은 분기점

수업 끝에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 제시했다.

분수 84/126이 유한소수인지 판단하시오. 단, 소수로 나타내지 말고 분모 조건으로 설명하시오.

학생은 가려진 풀이를 기다리지 않고 먼저 84와 126의 공약수 42를 찾아 2/3으로 약분했다. 이어 “기약분수의 분모가 3이므로 2와 5 이외의 소인수가 남는다. 따라서 유한소수가 아니다”라고 말했다. 검산을 위해 2/3에 3을 곱하면 2가 되어 원래 약분이 맞는지 확인했고, 처음의 84/126에도 같은 공약수 42를 적용해 다시 2/3이 되는지 확인했다.

월성동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답만 맞힌 데 있지 않다. 학생은 새 분수를 받자마자 약분 전 분모를 근거로 결론내리지 않고, 기약분수로 만든 뒤 분모에 2와 5만 남았는지 확인하는 첫 판단을 스스로 세웠다. 그리고 약분 결과와 분모 조건을 각각 검산 근거로 설명하며 풀이를 마쳤다.