월성동 고1수학과외
월성동 고1수학과외: 경우를 빠짐없이 나누고 정답 후보를 검산한 사례
월성동에서 고1 수학을 공부하던 학생은 경우의 수 문제에서 계산 자체는 빠른 편이었다. 그러나 조건이 두 갈래 이상으로 나뉘는 문항에서는 한 경우를 빠뜨리거나 같은 경우를 반복해 세는 일이 생겼다. 특히 정답 후보가 여러 개 나오면 가장 그럴듯한 값 하나를 바로 선택하는 습관이 문제였다.
계산보다 먼저 경우의 기준을 세우다
학생은 다음 문제에서 사람을 배열하는 순서를 먼저 계산하려 했다.
남학생 2명과 여학생 3명을 한 줄로 세울 때, 여학생이 서로 붙지 않도록 하는 방법의 수를 구하여라.
처음에는 다섯 명을 한꺼번에 배열한 뒤 조건에 맞지 않는 배열을 빼려고 했다. 이 과정에서 여학생이 붙는 경우를 정확히 분류하지 못해 계산 결과가 달라졌다.
교정 과정에서는 사람 전체를 먼저 배열하지 않고, 남학생 2명을 일렬로 놓아 생기는 세 자리의 빈칸에 여학생을 배치하는 한 가지 기준만 사용했다. 빈칸은 세 곳이고 여학생 3명을 모두 배치해야 하므로 가능한 방법은
남학생 배열 \(2!\), 빈칸에 여학생 배열 \(3!\)을 곱한 \(2!\times3!=12\)가지이다.
학생은 경우를 나눌 때 계산식을 바로 쓰지 않고, ‘무엇을 먼저 고정했는가’를 짧게 표시했다. 이 기록 덕분에 중복 계산이나 누락 여부를 식의 구조에서 확인할 수 있었다.
조건의 위치를 바꾼 문제에 적용하다
이후에는 같은 배열 문제가 아니라, 네 명의 학생 중 두 명을 뽑아 대표와 서기로 정하는 문제를 제시했다. 이번에는 선택한 뒤 역할을 정하는 순서로 생각하게 하여 조합과 순열을 구분하도록 했다.
먼저 두 명을 고르는 방법은 \({4\choose2}=6\)가지이고, 뽑힌 두 명에게 대표와 서기 역할을 정하는 방법은 \(2!\)가지이므로 전체는 \(6\times2=12\)가지이다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, ‘뽑기’와 ‘역할 배정’을 분리해야 하는 상황이었다.
- 사람을 고르는 단계에서는 순서를 고려하지 않는다.
- 역할을 정하는 단계에서는 순서가 달라지므로 서로 다른 경우로 센다.
처음 보는 조건에서 빠진 경우를 확인하다
마지막에는 다섯 명 중 세 명을 뽑되 특정 학생이 반드시 포함되는 문제를 풀었다. 학생은 전체 경우를 먼저 세지 않고, 특정 학생을 포함한다고 고정한 뒤 나머지 두 명을 네 명 중에서 고르는 방식으로 전환했다. 따라서 경우의 수는 \({4\choose2}=6\)가지였다.
검토 단계에서는 답만 다시 계산하지 않고, 특정 학생이 빠진 선택이 포함되어 있지 않은지 목록의 기준을 바꾸어 확인했다. 그 결과 모든 선택에 해당 학생이 들어가며, 같은 세 명을 순서만 바꾸어 중복해서 세지 않았다는 점까지 확인할 수 있었다.
월성동 고1수학과외 수업에서는 이처럼 계산량을 늘리기보다 경우를 나누는 기준과 순서의 의미를 먼저 점검하도록 지도했다. 학생은 이후 새로운 경우의 수 문제에서도 식을 쓰기 전에 선택과 배열을 구분하고, 빠진 경우가 없는지 스스로 확인하는 습관을 만들었다.