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월성동 고등수학과외

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월성동 고등수학과외에서는 절댓값이 포함된 식을 전개하는 속도보다, 식의 부호가 바뀌는 지점을 찾아 구간을 나누는 과정을 먼저 확인한다. 대건고등학교와 효성여자고등학교 학생들이 문제를 풀 때도 답을 빨리 구하려는 과정에서 절댓값 조건을 옮겨 적지 않는 실수가 자주 나타날 수 있다. 월성주공2단지와 꿈다락작은도서관 인근에서 학습하는 학생의 풀이를 살펴보면, 한 줄의 조건 누락이 뒤의 그래프와 검산까지 바꾸는 장면을 분명히 볼 수 있다.

절댓값을 가린 뒤에도 경계점을 복원하는 연습

학생에게 다음과 같은 식의 일부를 가리고 제시했다.

절댓값이 포함된 식에서 (x+4)(x-6)이 나타날 때, 구간별 식을 어떻게 정할까?

처음에는 학생이 인수분해된 부분만 보고 x=-4와 x=6을 곧바로 해로 적었다. 이어서 절댓값 기호가 있었다는 단서를 놓친 채 (x+4)(x-6)을 전개하고, 양의 구간과 음의 구간을 반대로 배치했다. 문제의 식이 |(x+4)(x-6)|라면 먼저 확인할 것은 인수분해 결과가 아니라 내부식의 부호다.

경계점은 (x+4)(x-6)=0에서 정해지므로 -4와 6이다. 세 구간을 나누면 다음과 같다.

  • x<-4에서는 두 인수가 모두 음수이므로 곱은 양수다.
  • -4<x<6에서는 x+4는 양수, x-6은 음수이므로 곱은 음수다.
  • x>6에서는 두 인수가 모두 양수이므로 곱은 양수다.

따라서 절댓값을 벗긴 식은 바깥 구간에서 (x+4)(x-6), 가운데 구간에서 -(x+4)(x-6)이다. 학생의 첫 오류는 전개 과정이 아니라, 절댓값 안의 식을 다시 적지 않은 순간에 시작됐다. 그 결과 가운데 구간의 부호를 놓쳤고, 그래프가 아래로 내려가야 할 부분과 위로 올라가야 할 부분을 반대로 그렸다.

틀린 부호를 역순으로 되짚기

교정할 때는 완성된 해설을 보여 주고 베끼게 하지 않았다. 먼저 학생이 자신이 적은 구간표를 거꾸로 읽게 했다. x>6에서 원래 곱이 양수라는 것을 두 수를 임의로 대입해 확인하고, -4<x<6에서는 x=0을 넣어 곱이 -24가 된다는 사실을 기록하게 했다. 그 뒤 절댓값의 값은 음수가 될 수 없으므로 가운데 구간에서는 부호를 한 번 더 바꿔야 한다고 설명했다.

이 과정에서 학생은 구간을 정한 뒤 각 구간의 대표값을 대입하는 검산경로를 만들었다. x=-5를 넣으면 (x+4)(x-6)=11, x=0을 넣으면 -24, x=7을 넣으면 11이 나온다. 원래 식의 절댓값 값은 각각 11, 24, 11이므로 세 구간에서 최종식이 음수가 남지 않는지 확인할 수 있다. 경계점 x=-4와 x=6에서는 내부식이 0이므로 좌우 식이 달라도 함수값은 모두 0으로 이어진다.

조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 복원하기

다음에는 절댓값 기호를 다시 가리고, 내부식을 (x+2)(x-5)로 바꿨다. 학생은 앞 문제의 숫자를 외우지 않고 먼저 x=-2, x=5를 경계로 적었다. 이어 -2와 5 사이의 대표값으로 x=0을 선택해 곱이 음수임을 확인하고, 양끝 구간에서는 곱이 양수라는 부호표를 혼자 완성했다.

이번에는 식 자체가 아니라 그래프의 방향도 바꾸어 제시했다. 절댓값을 씌운 이차식은 음수 부분이 x축 아래에 남을 수 없으므로, 가운데 구간의 포물선 부분이 위로 접혀야 한다. 학생은 구간별 식을 다시 세운 뒤 꼭짓점의 위치를 따지는 대신, 대표값을 넣어 그래프가 x축 아래로 내려가지 않는지 먼저 확인했다. 조건과 수치가 달라져도 경계점, 부호, 절댓값의 비음수라는 세 가지 단서를 연결한 것이다.

풀이를 끝낸 뒤 원식에 다시 넣기

마지막에는 자신이 만든 구간식을 원래의 |(x+4)(x-6)|에 재대입했다. x=-4와 x=6에서 좌우식이 모두 0인지, x=0에서 가운데 식이 24가 되는지, x=8에서 바깥 식이 24가 되는지를 차례로 확인했다. 특히 구간을 잘못 나누면 x=0에서 -24가 남아 절댓값식과 즉시 달라진다는 점을 발견했다. 이 검산은 답의 모양을 보고 맞다고 판단하는 대신, 원식과 변형식의 값을 같은 수에서 비교하는 방식이다.

자주 묻는 질문

절댓값 문제에서 경계점은 어떻게 찾나요?

절댓값 안에 있는 식이 0이 되는 값을 먼저 찾습니다. 인수의 곱이라면 각 인수를 0으로 놓아 경계점을 정합니다.

구간마다 대표값을 꼭 넣어야 하나요?

부호를 판단하기 어려울 때 효과적입니다. 각 구간 안의 간단한 수 하나를 넣으면 곱의 부호와 절댓값을 벗길 방향을 확인할 수 있습니다.

경계점에서는 어느 식을 사용하나요?

내부식이 0이므로 절댓값의 값도 0입니다. 다만 구간식이 경계에서 같은 값을 내는지 확인해야 합니다.

그래프 검산은 무엇을 보나요?

절댓값을 취한 함수값이 음수가 되지 않는지, 경계점에서 그래프가 끊기지 않는지 살펴봅니다.

전개를 먼저 하면 안 되나요?

전개 자체는 가능하지만, 절댓값 안의 식이 어느 구간에서 양수와 음수인지 확인한 뒤 진행해야 부호를 놓치지 않습니다.

월성동 고등수학과외 학부모 후기

새 단원 숙제를 마친 문제집을 펼쳐 보다가 여백 한쪽에 조그맣게 남은 표시를 발견했어요. 처음엔 무엇을 적어둔 건가 했는데, 계산이 틀어지기 시작한 자리만 짚어 놓은 흔적이더라고요. 월성동 수학과외를 찾아보던 때부터 아이 문제집을 가끔 살펴봤지만, 이런 식으로 표시한 건 처음 봤습니다. 전에는 복습할 때 앞부분부터 문제를 전부 다시 훑는 경우가 많았거든요. 그런데 이번에는 실수가 난 지점을 따로 구분해 두고 그 부분만 확인한 뒤 지나갔어요. 틀린 문제 전체를 붙잡고 있기보다 계산이 어긋난 시작점을 먼저 찾은 셈이라 눈에 띄었습니다. 새 단원 문제를 처음 읽던 날에도 비슷한 표시가 보이더라고요. 계산 과정에서 어긋난 위치에 작게 흔적을 남기고, 그 한 군데를 살핀 다음 곧바로 다음 문제로 넘어가고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

교과서를 책장에 꽂으려다가 펼쳐진 수학 문제를 보게 됐어요. 다음 일정을 정리하던 중이었는데, 수열 문제 옆에 항 번호와 값을 따로 적어 둔 흔적이 있더라고요. 두 항 사이를 얼마나 건너뛰었는지 확인하려고 쓴 것처럼 보이더라고요. 월성동 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 유심히 보게 됐는데, 예전에는 막힌 부분이 나오면 그 지점만 찾기보다 문제를 처음부터 다시 읽곤 했거든요. 그런데 이번에는 번호와 값을 나눠 적은 뒤 간격부터 살펴보고 있었습니다. 풀이가 바로 이어지지 않아도 무작정 처음으로 돌아가지는 않았어요. 수학시험지를 다시 꺼내 확인할 때도 같은 방식으로 항 번호와 값을 따로 적어 둔 부분이 보였어요. 마지막에는 다시 살펴볼 곳에 눈에 띄는 표시가 하나 남아 있었습니다. 시험지에서 먼저 확인한 자리가 분명하게 보였어요.

★★★★★학부모 후기

처음에는 복습보다 다음 진도를 빨리 나가고 싶어 혼자 끙끙대는 편이었는데, 월성동 수학과외를 시작한 뒤 수업 중 처음으로 모르는 부분을 조심스럽게 물어봤습니다. 선생님은 답을 재촉하지 않고 제 생각을 끝까지 들어주셔서 질문하는 일이 한결 편해졌고, 시험기간에도 해낼 수 있는 만큼만 숙제를 나눠 주셨습니다. 늦게까지 과제가 남은 날에도 할 수 있는 것부터 시작하게 되면서 수학을 피하지 않는 자신감이 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

예전에는 수학 공부를 미루려는 날이면 어려운 문제 이야기를 꺼내기도 싫어했는데, 요즘은 월성동 수업에서 배운 내용을 집에 와서 먼저 말해 줍니다. 선생님께서 풀이가 길어져도 중간에 포기하지 않도록 수업 중간중간 질문을 이끌어 주시고, 숙제와 복습도 아이의 생활에 맞춰 조절해 주셨습니다. 시험 일주일 전에도 흐름을 크게 놓치지 않고 스스로 공부하는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

주말에 공부 계획이 밀려도 예전에는 수학부터 피하려 했는데, 월성동 수업에서는 선생님이 남은 일을 짧게 나눠 다시 계획하게 도와주셨습니다. 학원 일정이 늦어진 날에도 아이가 편하게 상황을 말했고, 해야 할 것과 다음에 볼 내용을 구분해 주셔서 조금씩 자신 있게 이어가는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기