두류동 중3수학과외

두류동 중3수학과외에서 확인한 근호의 경계

두류동과외 수업에서 구남중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 근호를 간단히 하는 문제를 풀었습니다.

보기 없이 다음 근호를 간단히 하시오.
√72

계산보다 먼저 나타난 판단

학생은 식 옆에 다음과 같이 적었습니다.

72=8×9, √72=8×3=24

겉으로는 72를 두 수의 곱으로 나누었지만, 8과 9가 각각 어떤 역할을 하는지 확인하지 않은 채 8까지 근호 밖으로 꺼냈습니다. 이때 8은 완전제곱인 인수가 아닙니다. 반면 9는 3²이므로 근호 밖으로 옮길 수 있습니다. 따라서 결과가 24가 되는 순간이 최종 계산실수의 시작이 아니라, 제곱인수가 아닌 8을 밖으로 이동시킨 첫 판단이었습니다.

학생은 이어서 “√72는 6√2”라는 답도 떠올렸지만, 처음 식에서 어떤 수를 밖으로 옮겨야 하는지 기준이 흔들리고 있었습니다. 그래서 일반적인 경우와 달라지는 경우를 나누어 적게 했습니다.

• 피근수 안에 4, 9, 16처럼 완전제곱인 인수가 있으면 그 제곱근을 밖으로 옮긴다.
• 완전제곱인 인수가 없으면 억지로 수를 밖으로 옮기지 않는다.

72를 다시 쪼개 보는 한 가지 행동

틀린 계산 전체를 지우게 하지 않고, 처음 잘못 선택한 인수만 바꾸었습니다. 72를 36×2로 다시 나타내고, 36이 6²임을 표시했습니다.

√72=√(36×2)=√(6²×2)=6√2

이번에는 36이라는 완전제곱 부분만 근호 밖으로 나왔습니다. √2 안의 2는 완전제곱인 인수가 아니므로 그대로 남겨 두었습니다. 즉, 72를 어떤 두 수로 나누느냐보다 그중 한 인수가 완전제곱인지가 경계를 결정합니다.

같은 방식으로 √45도 확인했습니다. 45=9×5이므로 √45=3√5입니다. 여기서 5를 밖으로 옮기면 안 되는 이유는 5가 완전제곱이 아니기 때문입니다. 반대로 √48은 16×3으로 나누어 4√3으로 정리됩니다. 두 식 모두 계산법을 새로 배운 것이 아니라, 제곱인수만 골라내는 같은 판단을 적용한 것입니다.

표현을 바꾼 문제에서 기준 찾기

며칠 뒤에는 단순히 숫자만 바꾼 식 대신, 완전제곱 부분이 앞에 드러나지 않는 문제를 제시했습니다.

다음 중 근호 밖으로 옮길 수 있는 부분을 찾아 간단히 하시오.
√(5×12×3)

학생은 먼저 5×12×3을 계산해 180으로 만들지 않고, 인수 배열에 밑줄을 그었습니다. 12×3=36이므로 식을 √(5×36)으로 보고, 36=6²인 점을 찾아 답을 6√5로 정리했습니다. 이번에는 완전제곱인 수가 식의 가운데에 숨어 있다는 조건에서도 같은 기준을 스스로 찾았습니다.

이어 “피근수가 50보다 작고, 안에 완전제곱인 인수가 하나만 있다”는 조건이 문제 뒤에 붙은 경우도 확인했습니다. 학생은 조건의 위치에 영향을 받지 않고 50=25×2로 나눈 뒤 √50=5√2라고 썼습니다. 조건이 앞에 있든 뒤에 있든 실제 판단은 피근수의 인수 중 완전제곱인 부분을 찾는 일이었습니다.

힌트 없이 남은 한 문제

마지막에는 설명이나 표시 방법을 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

√(7×18×2)를 가장 간단한 꼴로 나타내고, 근호 밖으로 나온 수가 올바른지 확인하시오.

학생은 먼저 7×18×2를 바로 계산하지 않고, 18×2=36이라는 완전제곱 인수를 찾았습니다.

√(7×18×2)=√(7×36)=√(7×6²)=6√7

그다음 “36만 6²이므로 밖으로 나왔고, 7은 완전제곱이 아니어서 근호 안에 남았다”고 설명했습니다. 검산에서는 밖으로 나온 6을 다시 제곱하여 36을 만들고, 남은 7과 곱해 36×7=252가 원래 피근수 7×18×2와 같음을 대조했습니다. 계산 결과만 적은 것이 아니라, 왜 6은 밖에 있고 7은 안에 있는지와 그 이동이 원래 피근수를 보존하는지까지 스스로 확인한 것입니다.

두류동중3수학과외에서 다룬 이번 장면은 근호를 무조건 여러 방식으로 변형하는 연습이 아니었습니다. 피근수 안에서 완전제곱인 인수만 골라 이동하고, 그런 인수가 없으면 그대로 두는 경계를 한 문제 안에서 끝까지 지키는 연습이었습니다.