두류동 중3수학과외

두류동 중3수학과외에서 확인한 근호의 경계

두류동과외 수업에서 구남중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 근호를 간단히 하는 문제를 풀었습니다. 월성주공2단지와 레이크뷰행복작은도서관 인근 생활권에서 자주 접하는 학습지였지만, 이번 시간에는 문제 수를 늘리기보다 피근수 안에서 완전제곱인 인수만 근호 밖으로 옮기는 판단에 초점을 맞췄습니다.

보기 없이 다음 근호를 간단히 하시오.
√72

계산보다 먼저 나타난 판단

학생은 식 옆에 다음과 같이 적었습니다.

72=8×9, √72=8×3=24

겉으로는 72를 두 수의 곱으로 나누었지만, 8과 9가 각각 어떤 역할을 하는지 확인하지 않은 채 8까지 근호 밖으로 꺼냈습니다. 이때 8은 완전제곱인 인수가 아닙니다. 반면 9는 3²이므로 근호 밖으로 옮길 수 있습니다. 따라서 결과가 24가 되는 순간이 최종 계산실수의 시작이 아니라, 제곱인수가 아닌 8을 밖으로 이동시킨 첫 판단이었습니다.

학생은 이어서 “√72는 6√2”라는 답도 떠올렸지만, 처음 식에서 어떤 수를 밖으로 옮겨야 하는지 기준이 흔들리고 있었습니다. 그래서 일반적인 경우와 달라지는 경우를 나누어 적게 했습니다.

피근수 안에 4, 9, 16처럼 완전제곱인 인수가 있으면 그 제곱근을 밖으로 옮긴다.
완전제곱인 인수가 없으면 억지로 수를 밖으로 옮기지 않는다.

72를 다시 쪼개 보는 한 가지 행동

틀린 계산 전체를 지우게 하지 않고, 처음 잘못 선택한 인수만 바꾸었습니다. 72를 36×2로 다시 나타내고, 36이 6²임을 표시했습니다.

√72=√(36×2)=√(6²×2)=6√2

이번에는 36이라는 완전제곱 부분만 근호 밖으로 나왔습니다. √2 안의 2는 완전제곱인 인수가 아니므로 그대로 남겨 두었습니다. 즉, 72를 어떤 두 수로 나누느냐보다 그중 한 인수가 완전제곱인지가 경계를 결정합니다.

같은 방식으로 √45도 확인했습니다. 45=9×5이므로 √45=3√5입니다. 여기서 5를 밖으로 옮기면 안 되는 이유는 5가 완전제곱이 아니기 때문입니다. 반대로 √48은 16×3으로 나누어 4√3으로 정리됩니다. 두 식 모두 계산법을 새로 배운 것이 아니라, 제곱인수만 골라내는 같은 판단을 적용한 것입니다.

표현을 바꾼 문제에서 기준 찾기

며칠 뒤에는 단순히 숫자만 바꾼 식 대신, 완전제곱 부분이 앞에 드러나지 않는 문제를 제시했습니다.

다음 중 근호 밖으로 옮길 수 있는 부분을 찾아 간단히 하시오.
√(5×12×3)

학생은 먼저 5×12×3을 계산해 180으로 만들지 않고, 인수 배열에 밑줄을 그었습니다. 12×3=36이므로 식을 √(5×36)으로 보고, 36=6²인 점을 찾아 답을 6√5로 정리했습니다. 이번에는 완전제곱인 수가 식의 가운데에 숨어 있다는 조건에서도 같은 기준을 스스로 찾았습니다.

이어 “피근수가 50보다 작고, 안에 완전제곱인 인수가 하나만 있다”는 조건이 문제 뒤에 붙은 경우도 확인했습니다. 학생은 조건의 위치에 영향을 받지 않고 50=25×2로 나눈 뒤 √50=5√2라고 썼습니다. 조건이 앞에 있든 뒤에 있든 실제 판단은 피근수의 인수 중 완전제곱인 부분을 찾는 일이었습니다.

힌트 없이 남은 한 문제

마지막에는 설명이나 표시 방법을 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

√(7×18×2)를 가장 간단한 꼴로 나타내고, 근호 밖으로 나온 수가 올바른지 확인하시오.

학생은 먼저 7×18×2를 바로 계산하지 않고, 18×2=36이라는 완전제곱 인수를 찾았습니다.

√(7×18×2)=√(7×36)=√(7×6²)=6√7

그다음 “36만 6²이므로 밖으로 나왔고, 7은 완전제곱이 아니어서 근호 안에 남았다”고 설명했습니다. 검산에서는 밖으로 나온 6을 다시 제곱하여 36을 만들고, 남은 7과 곱해 36×7=252가 원래 피근수 7×18×2와 같음을 대조했습니다. 계산 결과만 적은 것이 아니라, 왜 6은 밖에 있고 7은 안에 있는지와 그 이동이 원래 피근수를 보존하는지까지 스스로 확인한 것입니다.

두류동중3수학과외에서 다룬 이번 장면은 근호를 무조건 여러 방식으로 변형하는 연습이 아니었습니다. 피근수 안에서 완전제곱인 인수만 골라 이동하고, 그런 인수가 없으면 그대로 두는 경계를 한 문제 안에서 끝까지 지키는 연습이었습니다.

두류동 중3수학과외 학부모 후기

새 풀이 노트를 만든 날, 아이가 따로 시키지도 않았는데 문제를 처음부터 다시 읽고 있더라고요. 숫자에 동그라미를 치기보다 조건이 적힌 문장에 먼저 표시를 하길래 옆에서 잠깐 지켜보게 됐어요. 예전에는 틀린 문제를 다시 볼 때도 왜 틀렸는지보다 답을 외우듯 확인하는 편이었거든요. 두류동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이 장면이 계속 생각났습니다. 그런데 다음 주 교과서를 펼쳐 놓았을 때도 숫자부터 찾지 않고 조건 문장을 먼저 짚어 보더라고요. 그 뒤에는 문제와 관련된 필요한 부분 한 장면만 간단히 정리하고 책을 내려놓았습니다. ━

★★★★☆학부모 후기

교과서를 책장에 꽂으려던 아이가 문제집을 바로 덮지 않고, 마지막 계산 부분을 잠시 들여다보더라고요. 이미 답은 나온 것 같았는데 처음 했던 계산과는 다른 방법으로 결과를 다시 확인하고 나서야 손을 뗐어요. 두류동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 가장 눈에 들어왔습니다. 전에는 막힌 문제가 나오면 어디서 꼬였는지 찾기보다 처음부터 다시 읽는 경우가 많았거든요. 그런데 그날은 풀이 전체를 되짚기보다 마지막 값만 따로 확인하는 모습이었어요. 단순히 오래 붙잡고 있는 것과는 조금 달라 보였습니다. 수학시험지를 다시 펼쳤을 때도 비슷한 흔적이 보이더라고요. 답을 곧장 보지 않고 다른 방식으로 마지막 결과를 대조한 뒤, 나중에 볼 부분만 문제 옆에 표시해 두었더라고요. 시험지에서 계산을 확인한 자리가 한눈에 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

다음 주말 책상을 정리하다가 미분 문제 풀이가 눈에 띄었어요. 도함수의 각 구간에 부호를 채운 표가 있었고, 다시 볼 부분 하나만 남겨둔 채 나머지 문제는 덮어둔 상태였어요. 예예전에는 공부가 끝난 뒤 표시만 남아 있어서 어디를 살펴보려는 건지 알아보기 어려웠거든요. 두류동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 변화가 있었는데, 다음 날 시간표를 확인하던 밤에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 공부 흔적을 정리하던 아이가 미분 문제의 도함수 부호표를 그냥 지나치지 않고 다시 작성하고 있더라고요. 도함수의 근을 먼저 표시한 다음 구간마다 부호를 직접 채워 넣은 표였어요. 단순히 문제에 줄만 그어둔 게 아니라, 어느 부분을 다시 확인할지 표 안에 남겨둔 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

두류동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 틀린 문제를 다시 보는 게 싫어 숙제를 몰아서 하곤 했습니다. 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명해보게 하며 속도보다 이해를 살폈고, 다음 시험 계획을 세운 뒤에는 공부를 시작하는 표정도 한결 편안해졌습니다. 이제는 틀린 이유를 답보다 먼저 생각해보려 합니다.

★★★★★학부모 후기

학교에서 돌아오면 가방부터 내려놓고 수학 숙제는 한참 미루던 제가, 요즘은 수업에서 헷갈렸던 부분을 질문으로 적어 둡니다. 두류동에서 수업을 시작한 뒤 선생님은 제 반응을 보며 같은 내용도 쉽게 다시 설명하고, 무리하게 진도를 나가지 않아 시험 직전 주말에도 숙제를 먼저 시작하게 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기

새 학기를 앞두고 두류동 수학과외를 시작했는데, 예전에는 기분 내키는 날에만 공부해 숙제를 몰아서 하곤 했습니다. 어려운 문제를 건너뛰고 쉬운 것부터 풀던 날에도 선생님은 잘한 부분을 구체적으로 짚어 주며 이해했는지 천천히 확인해 주셨습니다. 이제는 모르는 내용도 숨기지 않고 말하며, 공부를 시작하는 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기