두류동 중2수학과외

분수의 소수 표현, 경계에서 멈춰 확인하기

두류동과외 수업에서 학생은 분수를 소수로 바꾸는 문제를 풀다가 한 보기의 판단을 바꾸었다. 문제는 여러 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 고르는 내용이었다. 학생은 분모를 보고 곧바로 “2와 5로만 이루어지면 유한소수”라고 적었지만, 약분할 수 있는 분수와 약분되지 않는 분수를 같은 방식으로 처리하고 있었다.

두류동중2수학과외에서는 학생이 실제로 적어 둔 풀이를 지우지 않고, 어느 줄에서 판단이 갈렸는지 거꾸로 확인했다. 학생은 다음과 같이 분모에 표시했다.

• 12의 소인수에 2와 3을 표시하고 “순환”이라고 판단
• 20에는 2와 5만 표시하고 “유한”이라고 판단
• 18/30은 분모 30만 보고 2와 3이 있으므로 “순환”이라고 판단

계산 과정에서는 18/30을 먼저 약분하지 않았고, 보기의 조건이 바뀐 뒤 음수 값을 대입할 때도 -18/30을 -18 ÷ 30로 읽어야 하는데, 괄호 없이 식을 옮겨 적으며 부호의 위치를 놓쳤다. 그 결과 원래 분수와 약분한 분수의 값을 다르게 비교하는 줄이 생겼다.

결과보다 먼저 고친 판단

가장 처음 잘못된 선택은 분모를 약분하기 전 상태로 보고 소수의 종류를 정한 것이었다. 음수 계산 실수는 그 판단 뒤에 나타난 오류였다. 교사는 이미 맞게 계산한 약분 과정은 그대로 두고, 소수의 종류를 판단하기 전에 반드시 기약분수로 만든다는 한 가지 기준만 세웠다.

분수를 소수로 바꿀 때는 먼저 분자와 분모의 공약수로 약분한다. 그다음 기약분수의 분모가 2와 5만을 소인수로 가지면 유한소수, 다른 소인수가 남으면 순환소수이다.

학생은 18/30을 3/5로 줄인 뒤 분모에 3이 남지 않는다는 점을 다시 표시했다. 따라서 18/30은 0.6으로 끝나는 유한소수였다. 반대로 7/12는 더 약분되지 않고 분모에 3이 남으므로 0.58…처럼 순환한다. 음수인 경우에는 (-18)/30=(-3)/5=-0.6처럼 분수 전체에 괄호를 붙여 부호가 분자에만 붙는다는 것도 확인했다. 부호는 소수의 유한·순환 여부를 바꾸지 않고, 기약분수의 분모가 판단의 기준이라는 점을 한 줄로 정리했다.

표현을 바꾼 독립 적용

같은 시간에 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 표와 문장으로 제시된 문제를 풀었다. 다음 표에는 분수의 분모를 약분한 뒤 남은 소인수가 정리되어 있었다.

• 가: -14/35 → -2/5
• 나: 11/24 → 기약분수, 분모 2와 3
• 다: 21/28 → 3/4
• 라: 5/18 → 기약분수, 분모 2와 3

질문도 “유한소수를 고르시오”가 아니라 “순환소수가 아닌 것을 모두 고르고, 그 이유를 문장으로 쓰시오”로 바뀌었다. 학생은 먼저 가와 다를 골랐다. 가는 음수이지만 기약분수의 분모가 5뿐이고, 다는 분모가 2뿐이므로 둘 다 유한소수라고 설명했다. 나와 라는 분모에 3이 남아 순환소수라고 적었다.

이어 선생님이 “분모가 10의 약수이면 항상 유한소수인가?”라고 묻자 학생은 원래 분수가 아니라 약분한 뒤의 분모를 보아야 한다고 답했다. 6/15처럼 처음 분모에 3과 5가 함께 있어도 2/5로 약분되면 유한소수가 된다는 예를 들어 조건의 위치를 바꾸어 설명했다.

힌트 없이 세운 마지막 검증

마지막 문제는 “-27/45와 13/30 중 순환소수는 어느 것인가? 약분 과정과 판단 근거를 쓰시오”였다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 두 분수에 공약수를 표시했다. -27/45는 -3/5로 약분되어 유한소수, 13/30은 더 줄지 않고 분모에 3이 남아 순환소수라고 판단했다.

학생은 계산기를 바로 사용하지 않고 -3/5=-0.6, 13/30=0.4333…을 직접 확인했다. 이어 두 원래 분수에 같은 값을 대입하듯 5×(-0.6)=-3, 30×0.4333…이 13에 가까워지며 3이 반복된다고 검산했다. “부호는 값의 방향만 바꾸고, 유한·순환을 결정하는 것은 약분 뒤 분모의 2와 5 여부”라는 판단을 스스로 재현하면서 풀이를 마쳤다.