선동 중3수학과외

선동 중3수학과외에서 확인한 다항식 전개의 한 줄

선동과외 수업에서 학생이 완성해 온 풀이를 먼저 펼쳐 보았습니다.

정답에서 거꾸로 살펴본 풀이

문제는 다음 식을 전개하여 간단히 하라는 것이었습니다.

(2x-3)(x+4)+(x-1)(x+2)

학생의 기록은 이렇게 이어졌습니다.

(2x-3)(x+4)=2x²+8x-3x-12
=x²+5x-12

(x-1)(x+2)=x²+2x-x-2
=x²+x-2

따라서 2x²+6x-14

첫 번째 괄호의 전개에서 2x·x=2x²인데, 학생은 다음 줄에서 이를 x²로 바꾸었습니다. 그 뒤 8x-3x를 5x로 정리한 부분과 두 번째 괄호의 계산은 맞았습니다. 즉 마지막 답을 보고 막연히 다시 계산한 것이 아니라, 결과가 달라지기 시작한 최초의 줄을 역으로 추적했습니다.

가장 먼저 틀어진 판단

학생은 “x²항은 하나로 보이니 계수 2를 그대로 남길 필요가 없다”고 판단했습니다. 그러나 동류항 정리는 같은 종류의 항을 더하거나 뺄 때 적용하는 것이며, 아직 더할 x²항이 없는 전개 직후에는 2x²를 그대로 기록해야 합니다. 이 판단이 먼저 어긋났고, 이후의 5x와 x를 합치는 과정은 최초 오류가 아니었습니다.

한 행동만 바꾸어 다시 전개하기

전체 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 괄호를 곱할 때 항별 곱을 한 줄씩 빠짐없이 적도록 했습니다.

2x·x=2x²,　2x·4=8x
(-3)·x=-3x,　(-3)·4=-12

따라서 첫 번째 곱은 2x²+8x-3x-12=2x²+5x-12입니다. 이미 맞았던 두 번째 곱은 그대로 두고, 마지막에 동류항끼리만 모았습니다.

(2x²+5x-12)+(x²+x-2) =3x²+6x-14

교정은 ‘항별 곱을 누락 없이 적기’ 하나였습니다. 부호와 계수를 동시에 눈으로 확인하자 2x²를 빠뜨리지 않았습니다.

표현을 바꾼 새 전개 문제

같은 기준을 다른 모양에서도 적용할 수 있는지 확인하기 위해 중간 풀이를 가린 채 다음 문제를 제시했습니다.

(3y+2)(y-5)-(y+1)(2y-3)을 전개하여 동류항을 정리하시오.

이번에는 두 번째 곱 앞의 마이너스까지 괄호째로 계산하지 않고, 먼저 각 곱을 따로 적었습니다.

(3y+2)(y-5)=3y²-15y+2y-10
=3y²-13y-10

(y+1)(2y-3)=2y²-3y+2y-3
=2y²-y-3

이후 두 번째 식의 각 항 부호를 바꾸어 더했습니다.

3y²-13y-10-(2y²-y-3)
=3y²-13y-10-2y²+y+3
=y²-12y-7

앞 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라, 두 곱을 빼는 구조와 괄호 뒤의 부호를 함께 처리해야 하는 형태였습니다. 그래도 학생은 각 항을 먼저 만들고, 마지막에 같은 차수와 문자의 항만 정리했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 장면

며칠 뒤 선동중3수학과외 학습지에서 다음 식을 별도 표시 없이 풀게 했습니다.

(4a-1)(a+3)+(2-a)(a-2)

학생은 먼저

(4a-1)(a+3)=4a²+12a-a-3=4a²+11a-3
(2-a)(a-2)=2a-4-a²+2a=-a²+4a-4

라고 쓴 뒤,

4a²+11a-3-a²+4a-4 =3a²+15a-7

로 정리했습니다. 마지막에는 답만 확인하지 않고 a=2를 대입했습니다. 원래 식은 (8-1)·5+(0)·0=35이고, 정리한 식도 3·4+15·2-7=35였습니다. 전개 전 식과 전개 후 식의 값이 같다는 근거까지 스스로 설명하며, 항별 곱과 동류항 정리라는 같은 기준을 새로운 식에서 재현했습니다.