서동 중3수학과외
서동 중3수학과외, 전개보다 먼저 확인한 한 줄
단원평가를 앞두고 서동과외 수업에서 다항식의 곱셈과 동류항 정리를 함께 점검했습니다. 서동현대와 서동삼한 아파트가 있는 생활권, 부산광역시립서동도서관 인근 생활권에서도 자주 만나는 유형은 식이 길어질수록 계산 능력보다 첫 표시가 결과를 좌우합니다. 이번 시간에는 금사중학교가 포함된 생활권의 중3 학생이 실제로 적은 풀이를 바탕으로, 다항식을 곱한 뒤 같은 종류의 항만 모아 정리하는 과정 하나에만 집중했습니다.
첫 줄에서 이미 빠져 있던 항
학생에게 다음 식을 제시했습니다.
(2x-3)(x+4)-x(3x-1)
학생은 문제에서 ‘곱해져야 하는 항’을 먼저 표시하라는 안내를 받았지만, 실제 답안에는 곧바로 다음과 같이 적었습니다.
(2x-3)(x+4)-x(3x-1)
=2x²+8x-3x-12-3x²-x
=-x²+4x-12
앞부분인 (2x-3)(x+4)의 전개와 동류항 정리는 맞았습니다. 그러나 두 번째 곱에서 -x(3x-1)을 계산할 때, -x와 -1을 곱한 항을 빠뜨렸습니다. -x·(-1)은 +x이므로 두 번째 묶음은 -3x²+x가 되어야 합니다. 학생은 마지막에 -x²+4x-12를 얻었지만, 마지막 계산이 틀린 것이 아니라 그보다 앞서 두 번째 곱의 항을 모두 확인하지 않은 판단이 최초의 어긋남이었습니다.
계산을 되돌리지 않고, 항의 짝만 보이게 하기
교정은 풀이 전체를 다시 외우게 하는 방식이 아니었습니다. 이미 맞은 첫 번째 곱은 그대로 두고, 두 번째 곱에서 곱셈 짝을 빠짐없이 한 줄에 적도록 했습니다.
(2x-3)(x+4)-x(3x-1)
= (2x·x)+(2x·4)+(-3·x)+(-3·4)
-{x·3x+x·(-1)}
=2x²+8x-3x-12-(3x²-x)
=2x²+5x-12-3x²+x
=-x²+6x-12
여기서 고친 행동은 하나입니다. 곱셈을 시작하기 전에 각 항의 곱을 빠짐없이 적는 것입니다. 그다음에는 x²항끼리, x항끼리, 상수항끼리만 모았습니다. 서로 다른 종류의 항인 -x²와 6x를 합치지 않았고, 이미 맞았던 첫 묶음의 계산도 불필요하게 바꾸지 않았습니다. 학생은 ‘괄호를 보면 답을 빨리 쓰는 것’이 아니라, 괄호 안의 항들이 각각 한 번씩 곱해졌는지 확인해야 한다는 기준을 풀이 첫 줄에 남겼습니다.
모양을 바꾼 독립 문제에서 기준 선택하기
다음 수업에서는 숫자만 바꾼 식 대신, 곱셈식과 단항식의 곱이 섞인 형태를 제시했습니다.
(x-5)(2x+3)+2x(1-x)
이번에는 학생이 먼저 두 곱셈을 나누어 표시했습니다. 첫 번째는 x·2x, x·3, -5·2x, -5·3으로, 두 번째는 2x·1, 2x·(-x)로 적었습니다.
(x-5)(2x+3)+2x(1-x)
=2x²+3x-10x-15+2x-2x²
=(2x²-2x²)+(3x-10x+2x)-15
=-5x-15
이번 식에서는 x²항이 서로 없어지는 모양이었지만, 학생은 먼저 없애려고 하지 않고 모든 곱을 적은 뒤 동류항을 분류했습니다. 특히 +2x(1-x)에서 2x·(-x)가 -2x²임을 부호까지 표시했습니다. 식의 모양과 부호가 달라져도 ‘각 항을 한 번씩 곱하고, 같은 종류끼리만 합친다’는 기준을 스스로 선택한 장면입니다.
힌트 없이 값으로 되짚은 마지막 확인
마지막에는 새 식을 힌트 없이 풀고, 전개한 식과 원래 식에 같은 값을 넣어 비교했습니다.
(3x+2)(x-1)-2x(x+5)
학생의 풀이 기록은 다음과 같았습니다.
3x·x+3x·(-1)+2·x+2·(-1)-{2x·x+2x·5}
=3x²-3x+2x-2-2x²-10x
=x²-11x-2
학생은 임의로 x=2를 정해 원래 식을 계산했습니다.
(6+2)(2-1)-4(2+5)=8-28=-20
정리한 식에도 x=2를 넣어
2²-11·2-2=4-22-2=-20
이 두 값이 같음을 확인했습니다. 이어 “전개 전에는 각 항의 곱을 빠짐없이 적었고, 전개 후에는 x²항과 x항, 상수항만 묶었기 때문에 같은 값이 나와야 한다”고 설명했습니다. 서동중3수학과외에서도 이처럼 답만 맞추는 데 그치지 않고, 새로운 식에서 스스로 곱셈 항을 선별하고 동류항 정리의 근거까지 말하는 풀이를 확인합니다.