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서동 고2수학과외

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둔각이 들어간 삼각형 넓이, 왜 음수가 되었을까?

학생의 풀이 기록에는 다음과 같은 결론이 적혀 있었다.

“두 변의 길이가 6, 8이고 그 끼인각이 120°이므로 넓이는 ½×6×8×sin120°이다. 둔각의 사인은 음수이므로 넓이는 음수이다.”

틀린 부분은 넓이가 아니라 사인의 부호 판단

삼각형의 넓이는 두 변과 그 끼인각을 이용해

S = ½ab sinθ

로 계산한다. 여기서 θ가 120°처럼 둔각이어도 삼각형의 넓이는 양수이므로, sin120°를 음수로 처리하면 안 된다.

단위원으로 확인하는 사인값

각이 0°에서 180° 사이에 있을 때 단위원의 y좌표는 양수이다. 따라서

sin120° = sin(180°−120°) = sin60° = √3/2

이고, 넓이는

S = ½×6×8×√3/2 = 12√3

이다.

교정 후 최종 확인

둔각이 포함된 삼각형에서도 0°<θ<180°이므로 사인값은 양수다. 따라서 넓이가 음수가 되는 풀이가 보인다면 sin(180°−θ)=sinθ 관계를 적용하지 않은 것이 오류의 원인이다.

서동과외에서는 계산 결과만 확인하지 않고, 각의 범위와 삼각함수의 부호까지 함께 점검해야 같은 실수를 막을 수 있다.

서동 고2수학과외 학부모 후기

공부 계획표를 새로 적던 저녁, 아이가 답지를 옆에 두고도 펼치지 않는 모습이 눈에 띄었어요. 전에 공부를 마치면 자기 계산을 다시 훑어보는 일이 거의 없었는데, 그날에는 적어 둔 식을 한 줄씩 거꾸로 따라가며 어디서부터 확인할지 살펴보고 있더라고요. 서동 수학과외 후기를 찾아보게 된 것도 그 장면이 꽤 인상적이었기 때문이에요. 모의고사 해설지를 꺼냈을 때도 바로 해설부터 읽지 않았어요. 먼저 앞에서 풀었던 계산 과정을 한 줄씩 다시 짚어 보고, 확인한 부분은 자료에 따로 남겨 두었습니다. 답을 맞혔는지만 보던 때와 달리 자기 손으로 적은 계산을 먼저 들여다보는 모습이었습니다.

★★★★☆학부모 후기

시험 계획을 적어 내려가던 날, 아이가 오답 문제를 잠시 들여다보더니 답 전체가 아니라 처음 잘못된 식에만 표시를 하더라고요. 필요한 곳을 찾은 뒤에는 그 부분만 남겨 두고 다음 일정으로 넘어갔어요. 예전에는 막힌 이유를 짧게라도 적는 일이 거의 없어서, 틀린 문제 옆이 늘 깨끗한 편이었거든요. 학교 행사가 끝난 저녁에도 비슷한 장면을 봤습니다. 공부를 마치고 오답을 다시 펼친 아이가 처음 틀린 식만 네모로 묶어 두고, 그 자리에서 고칠 수 있도록 표시해 두었어요. 서동 수학과외 이야기를 나누기 전부터 집에서 보이던 모습과 비교하면, 어디서부터 손봐야 하는지 찾아 남기는 행동이 눈에 먼저 들어왔습니다.

★★★★☆학부모 후기

문제집을 펼쳐 보니 여백 여기저기에 낙서처럼 표시한 게 아니라, 계산이 틀어지기 시작한 지점만 조그맣게 남겨 두었더라고요. 모의고사 성적표를 받아온 날 잠깐 방을 들여다보다가 발견했는데, 답을 틀렸다는 표시와는 조금 달라서 눈에 띄었어요. 서동 수학과외를 알아보던 때와는 별개로 아이가 문제를 보는 방식이 달라진 게 느껴졌습니다. 예전에는 공부가 끝나면 지나간 부분을 다시 꺼내 확인하는 일이 거의 없었거든요. 어디서부터 계산이 어긋났는지 따로 짚어 둔 흔적을 보니 그냥 답만 맞춰 본 건 아니었어요. 시험 전 복습하던 날에도 같은 식으로 계산 실수가 시작된 곳만 골라 표시해 두었어요. 다시 봐야 할 부분이 다른 메모와 섞이지 않게 남겨 둔 모양이었고, 문제집을 펼쳤을 때 표시가 먼저 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

서동에서 수학 과외를 시작했을 때는 시험이 다가오면 새 문제만 많이 풀려고 했고, 모르는 문제를 질문하려고 표시해 두는 일도 잘하지 못했습니다. 선생님은 그날 상태에 맞춰 진도를 조절하고 지난주에 틀린 문제를 다시 보게 하면서도 스스로 공부할 시간은 남겨 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제를 만나도 오래 속상해하지 않고, 정한 계획대로 다시 이어가는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 뒤 다음 주 공부 계획을 세우는데, 아이가 예전처럼 한 과목에만 오래 매달리지 않아 의외였습니다. 서동에서 수업을 받으며 선생님은 어려운 문제 사이에 풀 만한 문제를 섞고, 막힌 부분은 스스로 생각할 시간을 기다려 주셨습니다. 수업 전 준비와 이번 주 공부량도 자연스럽게 살펴주셔서, 아이가 끝나고 “오늘은 내가 해낸 것 같다”고 말하는 날이 늘었습니다.

★★★★☆학부모 후기

학원 일정이 바뀌어 귀가가 늦어진 날에도 선생님은 아이의 집중 상태를 세심하게 살펴 수업량을 무리하게 늘리지 않으셨습니다. 서동에서 과외를 시작할 때만 해도 문제를 많이 보면 부담스러워하고 풀이를 다시 확인하지 않았는데, 이제는 수업 전에 궁금한 문제를 표시해 둡니다. 결과만 전하기보다 그날의 태도와 이해 정도까지 알려 주셔서 부모로서 믿음이 갔습니다.

★★★★★학부모 후기