서동 고2수학과외







둔각이 들어간 삼각형 넓이, 왜 음수가 되었을까?
학생의 풀이 기록에는 다음과 같은 결론이 적혀 있었다.
“두 변의 길이가 6, 8이고 그 끼인각이 120°이므로 넓이는 ½×6×8×sin120°이다. 둔각의 사인은 음수이므로 넓이는 음수이다.”
틀린 부분은 넓이가 아니라 사인의 부호 판단
삼각형의 넓이는 두 변과 그 끼인각을 이용해
S = ½ab sinθ
로 계산한다. 여기서 θ가 120°처럼 둔각이어도 삼각형의 넓이는 양수이므로, sin120°를 음수로 처리하면 안 된다.
단위원으로 확인하는 사인값
각이 0°에서 180° 사이에 있을 때 단위원의 y좌표는 양수이다. 따라서
sin120° = sin(180°−120°) = sin60° = √3/2
이고, 넓이는
S = ½×6×8×√3/2 = 12√3
이다.
교정 후 최종 확인
둔각이 포함된 삼각형에서도 0°<θ<180°이므로 사인값은 양수다. 따라서 넓이가 음수가 되는 풀이가 보인다면 sin(180°−θ)=sinθ 관계를 적용하지 않은 것이 오류의 원인이다.
서동과외에서는 계산 결과만 확인하지 않고, 각의 범위와 삼각함수의 부호까지 함께 점검해야 같은 실수를 막을 수 있다.