부곡동 고등수학과외

부곡동 고등수학과외에서는 함수의 평행이동을 그래프 모양만 옮기는 문제로 다루지 않고, 식의 각 항이 어떻게 달라지는지 확인하며 풀이합니다. 부산대학교사범대학부설고등학교와 내성고등학교를 준비하는 학생도 교과서 예제의 이동 과정을 직접 좌표로 기록하면 상수항에서 생기는 실수를 빠르게 찾을 수 있습니다. 수업에서는 경남한신아파트와 꿈마을아파트 주변 학생들이 자주 이용하는 생활 동선을 고려하되, 학습 장면은 실제 풀이 과정에 맞춰 진행합니다.

평행이동 식에서 처음 틀린 지점

학생에게 함수 f(7)=10이 주어지고 그래프를 오른쪽으로 3, 위로 2만큼 옮긴 뒤 특정 값을 구하게 했다. 학생은 새 함수를 f(x-3)+2로 적는 데까지는 맞게 접근했다. 그런데 전개 과정에서 f(x-3)의 내부 변화만 확인하고, 마지막에 더해진 2가 함수값과 상수항에 어떤 영향을 주는지 빠뜨렸다.

풀이 노트에는 다음과 같이 적혀 있었다.

오른쪽 3만큼 이동했으므로 x를 x-3으로 바꾼다. 따라서 f(7)=10인 점은 그대로 10이다.

여기서 첫 오류가 발생한다. 점 (7, 10)은 오른쪽 이동만 했다면 (10, 10)이 되지만, 위로 2만큼 더 이동했으므로 최종 좌표는 (10, 12)다. 학생은 x좌표의 변화는 반영했지만 y좌표의 변화는 누락했다. 식으로 확인하면 새 함수 g(x)=f(x-3)+2에서 g(10)=f(7)+2=12가 된다.

보조선 한 줄로 식과 좌표를 연결하기

이때 그래프에 보조선을 하나 그어 “같은 원래 점이 이동 후 어느 점으로 갔는가”를 표시했다. 보조선 옆에는 길게 설명하지 않고 다음 한 줄만 적었다.

원래 점과 이동한 점의 좌표 차이를 이동벡터와 비교한다.

이 문장을 기준으로 학생은 (7,10)에서 (10,12)로 향하는 가로 차이가 3, 세로 차이가 2임을 확인했다. 이어 새 식의 입력값 10에서 x-3을 계산해 7을 되찾고, f(7)=10을 대입한 다음 바깥의 +2를 끝까지 남겨 두었다. 상수항을 전개할 수 있는 다항함수라면 y방향 이동은 전체 식의 상수 부분에 그대로 영향을 준다는 점도 따로 표시했다. 예를 들어 f(x)=x²이라면 위로 2만큼 이동한 식은 (x-3)²+2이고, 전개하면 x²-6x+11이다. 마지막 상수항 11에는 가로 이동에서 생긴 9와 세로 이동 2가 함께 반영된다.

조건을 바꿔 혼자 적용한 문제

다음에는 원래 점의 정보와 이동 방향을 바꾸었다. f(−2)=5인 그래프를 왼쪽으로 4, 아래로 3만큼 이동한 그래프를 생각하게 했다. 학생은 새 함수가 f(x+4)−3임을 먼저 쓰고, 원래 점 (−2,5)의 새 좌표를 (−6,2)로 계산했다. 새 함수에서 x=−6을 넣으면 f(−6+4)−3=f(−2)−3=2가 되어 좌표 계산과 식 풀이가 일치했다.

이번에는 다항식을 전개하지 않고도 상수항의 변화를 설명하게 했다. 학생은 위아래 이동은 모든 함수값에 같은 수를 더하거나 빼므로, 그래프의 높이와 식의 바깥 상수항에 동시에 나타난다고 정리했다. 좌우 이동은 입력값을 바꾸기 때문에 f의 내부에 먼저 반영된다는 구분도 스스로 적었다.

마지막에는 원식에 다시 대입한다

검산은 단순히 답을 다시 읽는 방식으로 끝내지 않았다. 이동 전 기준점 (7,10)과 이동 후 기준점 (10,12)의 좌표 차를 직접 계산해 (3,2)를 얻고, 문제에서 제시한 이동벡터와 비교했다. 두 값이 정확히 같아야 평행이동이 제대로 처리된 것이다.

또한 새 식 g(x)=f(x-3)+2에 x=10을 재대입해 g(10)=12를 확인했다. 만약 학생이 10이라고 답했다면 좌표 차의 세로 성분이 0이 되어 이동벡터와 맞지 않는다. 그래프에서 원래 점을 오른쪽 위로 연결한 보조선과 식의 계산 결과가 같은 점을 가리키는지 확인하면서, 상수항 누락이 단순 계산 실수가 아니라 이동 방향 하나를 빠뜨린 오류임을 정리했다.

자주 묻는 내용

왜 오른쪽 이동은 x-3으로 쓰나요?

새 그래프의 x좌표에서 3을 빼야 원래 함수의 입력값으로 돌아가기 때문입니다. 새 x가 10이면 원래 입력은 7입니다.

위로 2만큼 이동하면 왜 식에 +2를 붙이나요?

모든 x에서 함수값이 2씩 커지므로 함수 전체에 2를 더합니다.

상수항은 항상 이동량만큼만 변하나요?

세로 이동은 상수항에 직접 더해지지만, 가로 이동은 전개 과정에서 일차항과 상수항에도 영향을 줄 수 있습니다.

그래프를 그리지 않아도 검산할 수 있나요?

가능합니다. 원래 점에 이동벡터를 더한 좌표와 새 식에 해당 x값을 넣은 결과가 같은지 비교하면 됩니다.

보조선은 무엇을 확인하나요?

원래 점과 이동 후 점의 가로·세로 좌표 차가 주어진 평행이동량과 일치하는지 확인합니다.