노포동 고등수학과외

노포동 고등수학과외에서는 평행이동을 그림의 이동으로만 외우지 않고, 식의 각 항이 어떻게 달라지는지 직접 확인한다. 부산과학고등학교와 내성고등학교를 준비하는 학생이 자주 마주하는 이 유형도 생활권에서 익숙한 부산광역시립서동도서관의 자습 시간에 풀어 보듯, 계산 한 줄의 의미를 추적하는 방식으로 다룬다.

상수항은 마지막 숫자만 보고 판단하지 않는다

문제의 함수가 f(x)=x²-11x+9이고, 그래프를 오른쪽으로 2만큼 평행이동했다고 하자. 이동한 그래프의 식은 y=f(x-2)로 표현된다. 학생은 먼저 원래 식의 상수항이 9라는 사실을 적고, 오른쪽 이동은 그래프의 위치만 바꾸므로 상수항은 그대로 9라고 결론을 냈다.

여기까지 x를 바꾸기 전의 설명은 맞았지만, 실제 오류는 f(x-2)를 전개하는 순간 생긴다. 괄호 안의 x-2를 대입해야 하는데, 학생은 x² 항만 (x-2)²로 바꾸고 -11x는 그대로 -11x라고 적었다. 그래서

f(x-2)=(x-2)²-11x+9

라고 쓴 뒤 상수항을 13으로 계산했다. 첫 오류는 상수항 계산 자체가 아니라, 함수 전체의 입력 x를 바꾸지 않은 데 있었다.

한 단계만 되돌려 식의 변화를 복원하기

이때 전체 문제를 처음부터 다시 풀게 하기보다, 오류가 난 대입 단계만 가린 뒤 복원하게 했다. f(t)=t²-11t+9라고 놓으면 t 자리에 x-2가 통째로 들어가야 한다.

f(x-2)=(x-2)²-11(x-2)+9

이제 항을 전개하면 x²-4x+4-11x+22+9가 되고, 결과는

y=x²-15x+35

이다. 오른쪽 이동은 단순히 상수항에 2를 더하는 조작이 아니다. 원래 식의 모든 x가 x-2로 바뀌면서 제곱항, 일차항, 상수항이 함께 영향을 받는다. 학생에게는 “상수항을 어디에서 읽었는가?”를 묻고, 전개 전 식에서 만들어진 4와 22까지 표시하게 했다. 그러면 35가 원래의 9만으로 결정되지 않는다는 사실이 눈에 보인다.

조건을 바꿔 혼자 적용한 문제

다음에는 계수를 바꾸는 대신 이동 조건을 하나 삭제했다. 함수 f(x)=x²-6x+1만 제시하고, 그래프가 어느 방향으로 얼마만큼 이동했는지는 알려 주지 않은 상태에서 “새 식의 상수항을 구하라”고 했다. 학생은 처음에는 1이라고 답했지만, 이동 정보가 없으면 하나의 값으로 정할 수 없다는 점을 확인했다.

예를 들어 오른쪽으로 3만큼 이동하면

f(x-3)=(x-3)²-6(x-3)+1=x²-12x+28

이므로 상수항은 28이다. 반대로 왼쪽으로 3만큼 이동하면 f(x+3)=x²+0x-8이 되어 상수항은 -8이 된다. 같은 원식이라도 이동 조건에 따라 결과가 달라진다. 학생은 이번에는 계산을 시작하기 전에 이동 방향과 크기가 주어졌는지부터 확인했다.

좌표 변화로 마지막 검산하기

전개한 식이 맞는지는 원식에 점을 대입해 확인했다. 원래 그래프에서 x=0일 때 y=f(0)=9이므로 점 (0, 9)가 있다. 오른쪽으로 2만큼 이동한 뒤 같은 점은 (2, 9)가 되어야 한다. 새 식에 x=2를 넣으면

2²-15·2+35=4-30+35=9

가 되어 좌표 이동과 일치한다. 반면 잘못 적은 식 (x-2)²-11x+9에 x=2를 넣으면 -13이 나오므로 원래 점의 높이를 보존하지 못한다. 식을 전개한 뒤 특정 점을 다시 넣어 보는 검산은 상수항만 따로 살피는 것보다 오류 위치를 분명하게 보여 준다.

자주 묻는 질문

오른쪽 이동이면 상수항도 항상 커지나요?

그렇지 않다. x 대신 x-a를 넣어 전체 식을 바꾸므로 계수와 상수항의 변화는 원래 함수에 따라 달라진다.

상수항은 그래프의 y절편과 같은가요?

식이 y=ax²+bx+c 형태라면 상수항 c는 x=0일 때의 함수값과 같다. 이동 뒤에는 새 식에 x=0을 넣어야 새 y절편을 알 수 있다.

전개하지 않고도 확인할 수 있나요?

가능하다. 원래 그래프의 점을 골라 이동한 좌표를 만든 뒤 새 식에 대입하면 전개 결과를 검증할 수 있다.

이동 방향을 모르면 어떻게 하나요?

주어진 정보만으로 결과가 정해지는지 먼저 판단한다. 방향이나 이동량이 빠졌다면 여러 식이 가능하므로 단일 상수항을 확정할 수 없다.