금사동 고2수학과외
점근선 사이에서 먼저 확인하는 주기
탄젠트 그래프의 반복 모양을 살피다가 한 주기를 \(2\pi\)로 표시한 풀이를 발견했다고 하자. 그래프가 실제로 \(2\pi\)마다 반복되기는 하지만, 기본 주기는 더 짧다. 금사동과외 수업에서는 먼저 점근선 사이의 간격을 확인한 뒤 가장 짧은 양의 주기를 선택한다.
세 함수의 기본 주기 비교
| 함수 | 기본 주기 | 확인 기준 |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(2\pi\) | \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) |
| \(\cos x\) | \(2\pi\) | \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) |
| \(\tan x\) | \(\pi\) | \(\tan(x+\pi)=\tan x\) |
따라서 \(\tan x\)의 그래프는 \(2\pi\)마다도 반복되지만, \(\pi\)마다 이미 같은 모양이 되므로 기본 주기는 \(\pi\)이다.
계수를 포함한 주기 계산
변환된 함수의 주기
함수 \(y=\sin bx\), \(y=\cos bx\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{|b|}\), \(y=\tan bx\)의 주기는 \(\frac{\pi}{|b|}\)이다.
예를 들어
- \(y=\sin 2x\)의 주기: \(\pi\)
- \(y=\cos 3x\)의 주기: \(\frac{2\pi}{3}\)
- \(y=\tan 4x\)의 주기: \(\frac{\pi}{4}\)
세 함수가 섞인 식에서는 각 함수의 주기를 따로 구한 뒤, 공통으로 반복되는 가장 작은 양의 값을 찾는다.
새 문항: 반복 기준을 \(2\pi\)로 통일하기
다음 세 함수의 그래프를 \(2\pi\) 구간을 기준으로 비교하자.
\[ f(x)=\sin x,\qquad g(x)=\cos x,\qquad h(x)=\tan x \]
세 함수 모두 \(2\pi\)를 주기로 사용할 수 있다. 하지만 이것은 반드시 기본 주기가 \(2\pi\)라는 뜻은 아니다. \(h(x)=\tan x\)의 기본 주기는 여전히 \(\pi\)이며, \(2\pi\)는 그 배수인 주기이다. 따라서 “세 함수의 반복 구간을 \(2\pi\)로 통일한다”와 “세 함수의 기본 주기가 모두 \(2\pi\)이다”는 구분해야 한다.
사인과 탄젠트가 함께 있는 식
함수 \[ F(x)=\sin x+\tan x \] 를 생각하면 \(\sin x\)의 주기는 \(2\pi\), \(\tan x\)의 주기는 \(\pi\)이다. \(2\pi\)는 두 함수의 공통 주기이므로 \(F(x+2\pi)=F(x)\)가 성립한다.
그러나 \(F(x+\pi)= -\sin x+\tan x\)이므로 일반적으로 \(F(x+\pi)\ne F(x)\)이다. 따라서 이 합성된 식의 기본 주기는 \(2\pi\)이다. 단, 탄젠트가 정의되지 않는 \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)에서는 함수값을 말할 수 없다.
최종 점검
- 사인과 코사인의 기본 주기는 \(2\pi\)이다.
- 탄젠트의 기본 주기는 \(\pi\)이다.
- 탄젠트에서 \(2\pi\)는 주기이지만 기본 주기는 아니다.
- 함수의 합은 각 주기의 공통 주기를 확인해야 한다.
- 탄젠트가 포함되면 정의되지 않는 점도 함께 확인해야 한다.