금사동 고2수학과외







점근선 사이에서 먼저 확인하는 주기
탄젠트 그래프의 반복 모양을 살피다가 한 주기를 \(2\pi\)로 표시한 풀이를 발견했다고 하자. 그래프가 실제로 \(2\pi\)마다 반복되기는 하지만, 기본 주기는 더 짧다. 금사동과외 수업에서는 먼저 점근선 사이의 간격을 확인한 뒤 가장 짧은 양의 주기를 선택한다.
세 함수의 기본 주기 비교
| 함수 | 기본 주기 | 확인 기준 |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(2\pi\) | \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) |
| \(\cos x\) | \(2\pi\) | \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) |
| \(\tan x\) | \(\pi\) | \(\tan(x+\pi)=\tan x\) |
따라서 \(\tan x\)의 그래프는 \(2\pi\)마다도 반복되지만, \(\pi\)마다 이미 같은 모양이 되므로 기본 주기는 \(\pi\)이다.
계수를 포함한 주기 계산
변환된 함수의 주기
함수 \(y=\sin bx\), \(y=\cos bx\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{|b|}\), \(y=\tan bx\)의 주기는 \(\frac{\pi}{|b|}\)이다.
예를 들어
- \(y=\sin 2x\)의 주기: \(\pi\)
- \(y=\cos 3x\)의 주기: \(\frac{2\pi}{3}\)
- \(y=\tan 4x\)의 주기: \(\frac{\pi}{4}\)
세 함수가 섞인 식에서는 각 함수의 주기를 따로 구한 뒤, 공통으로 반복되는 가장 작은 양의 값을 찾는다.
새 문항: 반복 기준을 \(2\pi\)로 통일하기
다음 세 함수의 그래프를 \(2\pi\) 구간을 기준으로 비교하자.
\[ f(x)=\sin x,\qquad g(x)=\cos x,\qquad h(x)=\tan x \]
세 함수 모두 \(2\pi\)를 주기로 사용할 수 있다. 하지만 이것은 반드시 기본 주기가 \(2\pi\)라는 뜻은 아니다. \(h(x)=\tan x\)의 기본 주기는 여전히 \(\pi\)이며, \(2\pi\)는 그 배수인 주기이다. 따라서 “세 함수의 반복 구간을 \(2\pi\)로 통일한다”와 “세 함수의 기본 주기가 모두 \(2\pi\)이다”는 구분해야 한다.
사인과 탄젠트가 함께 있는 식
함수 \[ F(x)=\sin x+\tan x \] 를 생각하면 \(\sin x\)의 주기는 \(2\pi\), \(\tan x\)의 주기는 \(\pi\)이다. \(2\pi\)는 두 함수의 공통 주기이므로 \(F(x+2\pi)=F(x)\)가 성립한다.
그러나 \(F(x+\pi)= -\sin x+\tan x\)이므로 일반적으로 \(F(x+\pi)\ne F(x)\)이다. 따라서 이 합성된 식의 기본 주기는 \(2\pi\)이다. 단, 탄젠트가 정의되지 않는 \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)에서는 함수값을 말할 수 없다.
최종 점검
- 사인과 코사인의 기본 주기는 \(2\pi\)이다.
- 탄젠트의 기본 주기는 \(\pi\)이다.
- 탄젠트에서 \(2\pi\)는 주기이지만 기본 주기는 아니다.
- 함수의 합은 각 주기의 공통 주기를 확인해야 한다.
- 탄젠트가 포함되면 정의되지 않는 점도 함께 확인해야 한다.
설명을 그림으로 바꾸어 보고 싶다면
도형이나 함수의 위치 관계를 배우고 있다면 문장만 읽고 계산하기 전에 간단한 그림을 그려 보세요. 그림에 표시한 내용이 문제에 실제로 주어진 것인지 추측한 것인지도 구분해야 합니다. 보기 좋게 그리는 것보다 조건을 빠뜨리지 않고 옮기는 것이 목적입니다.
가정과 결론을 나누어 표시하기
보여야 할 결론을 이미 성립하는 조건처럼 사용하지 않았는지 확인해 보세요. 증명이나 설명을 요구하는 문제에서는 출발점과 도착점을 구분하는 것이 중요합니다. 현재 배우는 성질을 적용해 어느 방향으로 설명을 이어 갔는지 답안을 따라가 볼 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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|---|---|---|
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