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금사동 고등수학과외

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금사동고등수학과외에서 함수 단원을 다룰 때는 식의 모양만 보고 무리함수라고 단정하지 않는 연습이 필요하다. 금사삼한사랑채와 삼한그린피아 인근 학생이 가져온 문제에는 \(y=\frac{7}{x-1}\)이 제시되어 있었고, 학생은 이를 무리함수로 분류한 뒤 정의역과 그래프 방향을 함께 적으려 했다. 그러나 이 식에는 근호가 없으므로 무리함수가 아니라 유리함수이며, 분류가 틀리면 이후의 조건 정리도 흔들린다.

식의 종류를 먼저 판별하는 장면

학생은 공책 첫 줄에 “무리함수의 정의역은 근호 안이 0 이상”이라고 쓴 뒤, \(x-1\geq0\), 따라서 \(x\geq1\)이라고 정리했다. 여기서 첫 오류가 발생했다. \(y=\frac{7}{x-1}\)에는 근호가 없으므로 근호 안의 식을 찾을 수 없고, 분모가 0이 되는 값만 제외해야 한다. 올바른 정의역은 \(x\ne1\), 즉 \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\)이다.

수업에서는 학생의 풀이 전체를 지우게 하지 않고, 잘못된 분류가 시작된 한 줄에 표시를 남겼다. ‘무리함수’라는 말을 지우고 ‘분모 조건 확인’으로 바꾼 뒤, \(x-1=0\)을 먼저 풀게 했다. 이렇게 하면 정의역은 \(x=1\)을 제외한 모든 실수가 된다. 식의 겉모양과 조건을 분리해 읽는 과정이 드러나는 교정이었다.

정의역과 그래프 방향을 함께 읽기

정의역을 고친 다음에는 그래프의 방향도 다시 판단했다. \(y=\frac{7}{x-1}\)은 \(u=x-1\)로 치환하면 \(y=\frac7u\)가 된다. \(u>0\)일 때 \(y>0\), \(u<0\)일 때 \(y<0\)이므로 그래프는 점근선 \(x=1\), \(y=0\)을 기준으로 오른쪽 위와 왼쪽 아래에 놓인다. 학생은 처음에 무리함수 그래프를 떠올려 오른쪽 부분만 그렸지만, 분모의 부호를 표로 나누어 보면서 \(x<1\)인 구간도 빠질 수 없다는 사실을 확인했다.

  • \(x=2\)이면 \(y=7\)이므로 오른쪽 위 영역에 있다.
  • \(x=0\)이면 \(y=-7\)이므로 왼쪽 아래 영역에 있다.
  • \(x=1\)에서는 분모가 0이 되어 함수값이 존재하지 않는다.

다음 날에는 앞서 적은 풀이를 보지 않고 \(y=\frac{5}{x+2}\)를 새로 제시했다. 학생은 먼저 \(x+2\ne0\)에서 \(x\ne-2\)를 얻고, \(x>-2\)에서는 함수값이 양수, \(x<-2\)에서는 음수라고 혼자 설명했다. 수치와 점근선의 위치가 바뀌었지만 같은 판단 구조를 적용한 것이다.

값을 직접 넣어 보는 최종 검증

마지막에는 그래프를 그린 뒤 정의역 안과 밖의 값을 각각 대입했다. \(x=3\)을 넣으면 \(y=\frac72\)가 실제로 계산되지만, \(x=1\)을 넣으면 \(y=\frac70\)이 되어 함수값을 만들 수 없다. 또 \(x=-1\)을 넣으면 \(y=-\frac72\)가 나와 왼쪽 아래 가지가 존재함을 확인할 수 있다. 처음의 \(x\ge1\)이라는 결론은 \(x=0\)에서 실제 함수값이 나오는 사실과 충돌하므로 반례 하나만으로도 잘못임을 검증할 수 있었다.

부산광역시립서동도서관에서 복습할 때도 학생은 문제마다 ‘근호 조건인지, 분모 조건인지’를 먼저 적기로 했다. 함수의 이름을 외우는 데서 멈추지 않고 식에 실제로 어떤 제한이 생기는지 확인하면, 정의역과 그래프를 따로 암기하지 않아도 서로 연결해 판단할 수 있다.

자주 묻는 내용

이 식은 왜 무리함수가 아닌가요?

무리함수는 변수와 근호가 포함된 함수다. \(y=\frac7{x-1}\)에는 근호가 없고 분모에 변수가 있으므로 유리함수로 분류한다.

정의역은 왜 \(x\ge1\)이 아닌가요?

그 조건은 근호 안이 음수가 되지 않도록 할 때 사용한다. 이 식에서는 분모 \(x-1\)이 0이지만 않으면 되므로 \(x\ne1\)이다.

그래프가 두 부분으로 나뉘는 이유는 무엇인가요?

점근선 \(x=1\)을 기준으로 분모의 부호가 달라진다. 그래서 오른쪽에서는 양수, 왼쪽에서는 음수인 두 가지가 나타난다.

검산할 때 어떤 값을 넣으면 좋나요?

제외된 경계값 \(x=1\), 그 양쪽의 값 \(x=0,2\)를 넣으면 정의역과 그래프 방향을 동시에 점검할 수 있다.

금사동 고등수학과외 학부모 후기

비가 제법 내리던 주말 오후였어요. 아이가 문제를 다 풀고 바로 답지를 찾는 대신, 적어 둔 답 옆을 한참 들여다보더라고요. 무엇을 확인하나 봤더니 단위가 맞는지, 문제에서 정한 범위를 벗어나지 않았는지를 먼저 살피고 있더라고요. 금사동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면은 꽤 인상적이었어요. 전에는 확인할 게 여러 가지면 중요한 조건과 덜 중요한 부분을 한꺼번에 훑다가 지나치는 일이 있었거든요. 그런데 이번에는 답을 쓴 뒤 문제에 나온 범위와 조건부터 짚어 보게 됐어요. 순서가 달라진 게 눈에 보였습니다. 다른 선택지 문제를 풀 때도 답 아래를 다시 확인하더니, 빠진 조건이 없는지 한 번 더 살펴본 부분을 접어 두었어요. 문제마다 단위나 범위를 먼저 보는 모습이 이어진 게 신기했습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 직전 마지막 주말, 아이가 맞힌 문제를 그냥 넘기지 않고 다시 펼쳐 보더라고요. 답은 맞았는데 풀이가 조금 길다며 다른 방식으로 줄일 수 있는지 한 줄씩 비교하고 있었습니다. 예예전에는 한 번 본 자료에서 필요한 부분만 찾아보고, 이미 푼 문제는 다시 들여다보지 않았거든요. 금사동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 책상 위 문제집을 보니, 맞힌 문제 옆에 다른 풀이가 있는지 따로 확인한 흔적이 보이더라고요. 단순히 답이 맞았는지만 보는 모습과는 달랐습니다. 다음 수업에서 물어볼 내용을 정리하던 밤에는 여러 자료를 펼쳐 놓고 풀이가 겹치는 부분과 다시 확인할 곳을 좁혀 가더라고요. 맞힌 문제까지 비교한 뒤 필요한 자료만 한쪽에 모아 두는 모습이 꽤 구체적으로 보였어요.

★★★★★학부모 후기

금사동에서 첫 과외를 시작한 날, 아이가 낯을 가리며 모르는 문제도 조용히 넘기던 모습이 기억에 남습니다. 선생님은 답을 서두르지 않고 어디까지 이해했는지 편하게 물어보며 기다려 주셨고, 수업 뒤 아이가 먼저 질문했다는 말에 마음이 놓였습니다. 성적보다 먼저 질문하는 태도가 달라진 점이 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

금사동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 답이 바로 나오지 않으면 아는 문제도 맞는지 몇 번씩 확인하며 긴장했습니다. 시험 전날 복습할 내용을 고를 때 선생님은 사소한 질문도 왜 궁금했는지부터 듣고 이해한 만큼만 진행해 주셨고, 숙제가 부담스러울 때도 먼저 말할 수 있게 해주셨습니다. 요즘은 공부 시간을 예전보다 편하게 받아들이고 스스로 복습할 것을 고르는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 금사동에서 수학 과외를 시작해도 복습보다 다음 진도를 빨리 나가고 싶어 했습니다. 다만 수업 전 틀린 문제를 표시해 두면 선생님이 부담 없이 이유를 물어보고, 시험이 가까워질수록 부족한 부분을 다시 살펴보며 일정도 맞춰 주셨습니다. 요즘은 문제를 틀려도 금방 마음을 다잡고 다음 문제를 이어가는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기