광천동 중3수학과외
광천동 중3수학과외에서 살펴본 ‘문장을 식으로 바꾸는 순간’
광천동과외 수업에서 광천e편한세상아파트가 있는 생활권의 중3 학생과 문장제 풀이를 확인했습니다. 광주화정중학교가 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형처럼 보였지만, 이번 수업의 범위는 넓히지 않고 문장 속 관계를 미지수로 정해 이차방정식으로 나타내는 과정에만 맞추었습니다.
답보다 먼저 드러난 풀이 기록
문제는 다음과 같았습니다.
직사각형 모양의 화단의 둘레는 34m이고 넓이는 60㎡이다. 가로와 세로의 길이를 구하여라.
학생은 종이에 먼저 다음처럼 적었습니다.
- 가로를 x라 하자.
- 세로는 17이다.
- x(17)=60, 따라서 x=60÷17
처음에는 둘레 34를 보고 곧바로 34÷2=17을 계산했고, 이를 세로의 길이로 표시했습니다. 이어 가로와 세로를 곱해야 넓이가 된다는 점은 알고 있었으므로 x×17=60이라는 식을 세웠습니다. 계산 자체는 틀리지 않았지만, 식을 세우기 직전에 문장의 관계가 바뀌었습니다.
식이 어긋난 최초의 한 지점
둘레를 반으로 나눈 17은 세로 하나의 길이가 아니라 가로와 세로를 더한 값입니다. 즉, 가로를 x, 세로를 y로 두면 먼저
2x+2y=34 → x+y=17
이라고 적어야 합니다. 학생은 이 합의 관계를 확인하지 않고 17을 세로라고 결론 내렸습니다. 넓이 조건을 빠뜨린 것이 아니라, 둘레에서 얻은 수가 무엇을 뜻하는지 잘못 읽은 것이 가장 먼저 발생한 오류였습니다.
한 줄을 바꾸어 관계를 보존하기
교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 방식이 아니었습니다. 학생이 이미 알고 있던 넓이 식은 그대로 두고, 17의 의미만 바로잡았습니다.
x+y=17이므로 y=17-x
따라서 넓이 조건은
x(17-x)=60
이 됩니다. 이를 정리하면
x²-17x+60=0
이고, 두 수의 곱이 60, 합이 17이므로 x=5 또는 12가 나옵니다. 가로와 세로의 이름을 어느 쪽에 붙였는지에 따라 길이는 5m와 12m입니다. 여기서 중요한 것은 정답 숫자보다, 17을 세로가 아니라 두 변의 합으로 남겨 둔 뒤 미지수 하나로 관계를 바꾼 점입니다.
표로 제시된 조건을 식으로 옮겨 보기
다음 문제는 앞의 직사각형 그림이나 둘레 표현을 사용하지 않았습니다.
두 수의 합과 곱을 나타낸 표가 있다.
- 작은 수: x
- 큰 수: x보다 5 큰 수
- 두 수의 곱: 84
작은 수를 x로 정하면 큰 수는 x+5입니다. 표의 마지막 줄을 그대로 옮겨
x(x+5)=84
를 세웁니다. 정리하면 x²+5x-84=0이고, 곱이 -84가 되는 두 수 가운데 합이 5인 수를 찾아 x=7 또는 x=-12를 얻습니다. 문제에서 두 수가 양수라고 했으므로 작은 수는 7입니다. 앞 문제와 모양은 다르지만, 문장에서 미지수와 다른 양의 관계를 정한 뒤 곱 조건으로 이차방정식을 만든다는 기준은 같습니다.
힌트 없이 다시 확인한 마지막 장면
수업 끝에는 새로운 문제를 제시하고 아무 표시도 해 주지 않았습니다.
어떤 직사각형의 가로는 세로보다 2cm 길고, 넓이는 48㎠이다. 세로의 길이를 구하여라.
학생은 이번에는 곧바로 답을 쓰지 않고 “세로를 xcm로 두면 가로는 x+2cm”라고 적었습니다. 이어 넓이 조건에서
x(x+2)=48 → x²+2x-48=0
을 만들고 x=6 또는 -8을 구했습니다. 세로의 길이라는 조건에 맞는 값은 6이므로 가로는 8이라고 설명했습니다.
마지막으로 구한 값을 원문에 대입해 6×8=48인지 확인하고, 가로가 세로보다 2cm 긴지도 8-6=2로 검산했습니다. 새로운 문장에서도 미지수를 먼저 정하고, 다른 길이를 관계식으로 바꾼 뒤, 원래 조건에 대입해 확인하는 흐름을 스스로 재현한 것입니다.
광천동중3수학과외에서 남긴 기준
문장제에서 숫자를 바로 계산하기보다, 그 숫자가 합인지 차인지 또는 미지수와 어떤 관계인지 먼저 적어야 합니다. 이번 사례에서는 이 기준 하나만 지켜도 문장을 이차방정식으로 옮기는 과정이 흔들리지 않았습니다.