광천동 중2수학과외

표현이 바뀌어도 이어지는 연립방정식의 가감법

광천동과외 수업에서 학생은 연립방정식의 식만 볼 때는 가감법 순서를 곧잘 지켰다.

한 식의 값만으로 해를 정하려던 순간

제시된 두 식은 다음과 같았다.

2x＋y＝7
3x－2y＝0

학생은 먼저 첫 번째 식의 y를 지우기 위해 식 전체에 2를 곱했다. 공책에는 4x＋2y＝14라고 정확히 적었고, 원래 두 번째 식 3x－2y＝0과 더해 7x＝14, x＝2를 계산했다. 여기까지는 가감법의 방향이 맞았다.

문제는 그다음이었다. 학생은 x＝2를 첫 번째 식에만 대입해 y＝3을 얻은 뒤, 두 번째 식에는 확인하지 않고 해를 확정하려 했다. 표현이 표와 문장으로 바뀌면 한 조건만 맞아도 된다고 판단한 것이 계산이 어긋나기 시작한 최초의 선택이었다. 아직 결과가 틀린 것은 아니었지만, 두 식의 관계를 한꺼번에 만족하는지 확인하는 절차를 생략한 상태였다.

계수보다 먼저 ‘전체 식’을 보게 한 교정

교사는 새로운 풀이법을 덧붙이지 않고, 학생이 이미 맞게 진행한 가감 과정만 유지하게 했다. 대신 “2를 곱한 대상이 y항 하나가 아니라 등식 전체인지, 그리고 얻은 x값이 두 원래 조건에 모두 들어가는지”를 표시하게 했다.

학생은 2x＋y＝7의 양변과 모든 항에 2를 곱해 4x＋2y＝14라고 다시 동그라미를 쳤다. 이어 두 식을 더할 때 +2y와 －2y가 서로 없어지는 것을 화살표로 연결했다. x＝2를 얻은 뒤에는 첫 번째 식에서 4＋y＝7, 두 번째 식에서 6－2y＝0을 각각 적었다. 두 식 모두 y＝3을 가리키자, 한 식의 결과가 아니라 두 원래 식의 공통값이라는 점을 문장으로 정리했다.

그래프와 문장으로 바꾸어 다시 판단하기

다음 문제는 식이 바로 주어지지 않고 두 직선의 정보가 표로 제시되었다.

• 직선 P: x가 0일 때 y＝7, x가 1 증가할 때 y는 －2씩 감소
• 직선 Q: x가 0일 때 y＝0, x가 2 증가할 때 y는 3씩 증가

학생은 표의 값을 그대로 더하지 않고, 두 직선이 만나는 점을 찾는 문제임을 먼저 표시했다. P는 y＝7－2x, Q는 3x－2y＝0으로 나타냈다. P의 식을 2x＋y＝7로 고친 뒤, Q와 비교해 y의 계수를 맞출 수 있다고 설명했다. P에 2를 곱해 4x＋2y＝14를 만들고 Q와 더하는 이유도 “반대 부호인 y항을 없애 x를 먼저 구하기 위해서”라고 말했다. 그래프에서 두 직선이 만나는 점 (2, 3)을 표시한 뒤, 그 점을 두 식에 각각 대입해 확인했다.

숫자와 배열을 바꾼 독립 적용

힌트 없이 문장 문제를 제시했다. 입장권을 모두 6장 샀고, 성인권 3장과 어린이권 2장의 가격 합이 16, 성인권 한 장과 어린이권 두 장의 가격 차가 0이라고 하자. 성인권 가격을 x, 어린이권 가격을 y로 정한 학생은 문장의 순서에 끌려가지 않고 다음처럼 조건을 분리했다.

3x＋2y＝16
x－2y＝0

학생은 x의 계수를 맞추기 위해 두 번째 식 전체에 3을 곱했다. 3x－6y＝0을 만든 뒤 첫 번째 식에서 빼 8y＝16, y＝2를 구했고, x－4＝0에서 x＝4를 얻었다. 마지막 설명에서 “두 번째 식만으로 가격을 정하지 않고, 계수를 맞춘 식은 계산용이며 최종 검산은 반드시 원래 두 문장으로 해야 한다”고 말했다. 실제로 3×4＋2×2＝16, 4－2×2＝0을 각각 확인해 두 조건이 모두 성립함을 스스로 근거로 제시했다.

이처럼 가감법은 식의 배열, 표의 값, 그래프의 교점, 문장 조건이 달라져도 한 식 전체에 같은 수를 곱하고 두 원래 조건을 함께 확인하는 판단으로 연결된다.