풍향동 중3수학과외

풍향동 중3수학과외에서 살펴본 이차방정식의 첫 식

단원평가를 앞두고 풍향동과외 수업에서 한 문장제 풀이를 점검했습니다. 광주동신중학교와 광주동신여자중학교가 포함된 생활권, 교대 금호어울림과 풍향동작은도서관 인근에서 접할 수 있는 생활 장면을 참고해 만든 문제였습니다. 핵심은 계산 속도가 아니라 문장에서 미지수를 정하고, 조건에 맞는 이차방정식을 세우는 것이었습니다.

완성된 답안에서 거꾸로 확인한 흔적

문제는 다음과 같았습니다.

가로가 세로보다 3m 긴 직사각형 모양의 게시판이 있다. 넓이가 180㎡일 때 세로의 길이를 구하여라.

학생의 풀이 기록은 다음과 같았습니다.

• 세로를 xm로 표시했다.
• 가로를 x+3으로 적었다.
• 넓이 조건을 사용해 x(x+3)=180이라고 썼다.
• 그런데 다음 줄에서 x²+3x-180=0이 아니라 x²-3x-180=0으로 옮겼다.
• 이후 계산한 값 중 15를 답으로 골랐지만, 실제로는 처음 식의 조건과 연결되지 않았다.

처음부터 답만 보면 15라는 수가 그럴듯해 보였습니다. 그러나 풀이를 뒤에서 앞으로 읽으며 해를 결정하는 식과 원문 조건을 대조하자, 계산 중간보다 앞선 지점에서 문제가 생긴 것이 보였습니다. x(x+3)=180에서 전개하면 3x는 양수가 유지되어야 합니다.

가장 먼저 어긋난 판단은 부호 확인을 건너뛴 순간

최종 계산이 틀렸다는 사실보다 중요한 것은, 학생이 이차방정식으로 옮겨 적는 순간 원래 식의 부호를 확인하지 않았다는 점입니다. “180을 왼쪽으로 옮기면 마이너스”라는 판단은 맞았지만, 괄호를 전개하는 과정에서 +3x를 -3x로 바꾼 것이 최초 오류였습니다.

즉, 원문에서 정한 가로와 세로는 제대로 표현했으므로 미지수 설정을 다시 바꿀 필요는 없었습니다. 잘못된 결론이 나온 뒤의 근의 계산만 탓하면, 문장제에서 식을 세우는 기준을 놓치게 됩니다.

다시 쓴 것은 한 줄뿐이었습니다

전체 풀이를 지우게 하지 않고, 오류가 난 줄 바로 앞에 원래 식을 다시 적었습니다.

x(x+3)=180
x²+3x=180
x²+3x-180=0

교정 행동은 하나였습니다. 이차방정식으로 정리하기 전에 괄호를 전개한 식을 원래 곱셈식과 한 번 대조하기입니다. 그 뒤 인수분해하면 (x+15)(x-12)=0이므로 x=12 또는 x=-15입니다. 길이이므로 x=12를 선택하고, 가로는 15m가 됩니다. 실제 넓이는 12×15=180㎡로 원문과 맞습니다. 이미 맞았던 ‘세로를 x로 정하고 가로를 x+3으로 나타내기’는 그대로 유지했습니다.

표현이 달라진 새 문장제

며칠 뒤 풍향동중3수학과외 수업에서는 중간 풀이를 가린 채 다음 문제를 제시했습니다.

어떤 수에 그 수보다 5 큰 수를 곱했더니 84가 되었다. 양의 해를 구하여라.

이번에는 직사각형 그림 없이 수의 관계를 읽어야 했습니다. 학생은 먼저 작은 수를 x로 두고, 다른 수를 x+5로 적었습니다. 따라서 곱의 조건은 x(x+5)=84라고 세웠습니다. 이는 앞 문제의 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 도형의 가로·세로 대신 두 수의 관계를 문장에서 찾아 식으로 옮긴 경우입니다.

학생은 곧바로 전개하지 않고, “두 번째 수가 5 크므로 괄호 안은 x+5”라고 말한 뒤 식을 한 번 읽었습니다. 그 후 x²+5x-84=0으로 정리하고, (x+12)(x-7)=0을 얻었습니다. 양의 해는 x=7이며 다른 수는 12입니다.

힌트 없이 원문으로 되돌아간 확인

마지막에는 별도의 표시나 질문 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

한 변을 xcm로 정한 정사각형의 넓이에 9를 더하면 58이 된다. 한 변의 길이를 구하여라.

학생은 “정사각형의 넓이는 x²이고, 넓이에 9를 더한 값이 58”이라고 설명하며 x²+9=58, 이어서 x²-49=0을 만들었습니다. x=7 또는 -7 중 길이 조건에 맞는 7을 골랐고, 원래 문장에 대입해 7²+9=58이라고 검산했습니다.

이번에는 누가 부호를 알려 주지 않았지만 원문 조건, 식의 부호, 가능한 해를 스스로 연결했습니다. 문장제의 정답은 계산 끝의 숫자만이 아니라, 그 숫자가 처음 읽은 조건을 만족하는지까지 확인할 때 완성됩니다.