풍향동 고등수학과외







풍향동고등수학과외에서는 지수·로그 혼합식을 계산 결과만 맞히는 문제로 다루지 않는다. 광주동신고등학교와 광주동신여자고등학교 학생들이 자주 연습하는 장면도 식을 치환한 뒤 그 값이 원래 변수에서 허용되는 범위와 맞는지 확인하는 과정에 가깝다. 풍향동작은도서관이나 그리심문고에서 문제를 풀 때도 해설을 바로 펼치지 않고, 풀이를 가린 채 복원하는 방식으로 자신의 판단 순서를 점검할 수 있다.
18x = 324에서 시작된 작은 착각
학생은 처음 식을 보고 324를 18의 거듭제곱으로 바꾸려 했다. 182=324라는 사실은 알고 있었지만, 중간에 t=18x라고 치환한 뒤 t=324를 얻자 “t는 양수여야 하므로 x도 양수”라고 적었다. 답 x=2 자체는 우연히 맞았지만, t의 범위와 x의 범위를 같은 것으로 처리한 것이 첫 오류였다.
치환변수 t=18x의 허용 범위는 밑이 양수이고 1이 아니므로 t>0이다. 그러나 이 조건은 x가 양수라는 뜻이 아니다. 모든 실수 x에 대해 18x는 양수이므로, 원래 변수의 범위는 x∈R이다. 따라서 t=324를 얻은 다음에는 t의 조건을 확인하고, 다시 원래 변수로 돌아가야 한다.
t=18xt=324
18x=324=182
x=2
학생에게는 이 네 줄에서 t와 x 옆에 각각 가능한 범위를 직접 적게 했다. 해설을 가린 뒤 처음부터 다시 복원하게 하자 “t>0, x∈R”을 분리해 기록했다. 그제야 치환변수의 조건을 원래 변수에 그대로 옮기면 안 된다는 점이 눈에 들어왔다. 로그를 사용해도 같은 결론에 도달한다.
치환 범위를 먼저 쓰는 훈련
다음에는 식의 모양을 조금 바꾸었다.
9x=27
학생은 먼저 u=9x라 두고 u>0을 적었다. 이어 27을 3의 거듭제곱으로만 보지 않고 93/2으로 바꾸어 9x=93/2에서 x=3/2를 얻었다. 이번에는 u의 조건을 확인한 뒤 원래 식으로 되돌아가는 순서를 혼자 유지했다. 식의 숫자가 18과 324에서 바뀌었지만, 치환변수의 범위와 원래 변수의 범위가 다르다는 판단은 그대로 적용한 것이다.
길어진 식에서도 같은 판단을 요구했다.
18x·181-x=18
학생은 양변을 계산하기 전에 18x와 181-x가 모두 양수라는 점을 확인하고, 지수법칙으로 왼쪽을 18로 정리했다. 이 식은 모든 실수 x에서 성립하므로 해가 하나라고 단정하지 않았다. 처음 문제처럼 18x=324에서 x=2가 나왔던 경험을 기계적으로 옮기지 않고, 식 자체가 요구하는 조건을 살폈다.
원식에 다시 넣어 보는 마지막 검증
구한 x=2를 원식에 대입하면 182=324이므로 등식이 성립한다. 동시에 밑 18은 0보다 크고 1이 아니어서 지수함수는 일대일이다. 따라서 18x=182에서 x=2 외의 다른 실수 해가 생길 수 없다. 학생은 계산기 값에 의존하지 않고, 원식 재대입과 일대일성이라는 두 방식으로 답을 확인했다.
자주 묻는 질문
- 치환변수의 범위는 왜 먼저 적나요?
치환한 식에서 생긴 값이 실제로 가능한지 판단하고, 잘못된 해를 걸러내기 위해서다. - t=18x이면 x도 항상 양수인가요?
아니다. 18x는 모든 실수 x에서 양수이므로 x의 범위는 실수 전체다. - 18x=324는 로그로 풀어도 되나요?
가능하다. x=log18324=2로 계산할 수 있다. - 답을 구한 뒤 원식에 넣는 이유는 무엇인가요?
치환 과정에서 조건을 빠뜨렸거나 범위를 잘못 옮겼는지 최종적으로 확인할 수 있다.