일곡지구 고2수학과외







이동된 그래프에서 원함수를 복원하는 출발점
그래프의 점근선이 y=1이고, 그래프 위에 점 (4, 3)이 있다고 하자. 이 그래프가 지수함수 \(y=a^{x-3}+1\)의 꼴이라면, 점 (4, 3)을 그대로 밑 계산에 넣어서는 안 된다.
이동량을 먼저 되돌리기
오른쪽으로 3, 위로 1만큼 이동했으므로 이동된 점 (4, 3)에서 각각 이동량을 거꾸로 뺀다.
\[ (4-3,\;3-1)=(1,2) \]
따라서 원래 함수 \(y=a^x\) 위의 점은 (1, 2)이다. 이제 \(a^1=2\)이므로 \(a=2\)를 얻는다.
교정 전후 풀이 비교
| 구분 | 풀이 | 판단 |
|---|---|---|
| 잘못된 접근 | 점 (4, 3)에서 \(a^4=3\)이라고 계산 | 이동 효과가 남아 있어 원래 함수의 점이 아님 |
| 바른 접근 | (4, 3)을 (1, 2)로 되돌린 뒤 \(a^1=2\)를 사용 | 원함수의 좌표로 계산함 |
후보 함수 검증
복원한 원함수는 \(f(x)=2^x\)이다. 이를 이동하면
\[ g(x)=f(x-3)+1=2^{x-3}+1 \]
이고, 실제로 \(g(4)=2^1+1=3\)이므로 주어진 점을 지난다. 또 수평점근선은 \(y=1\)이어서 조건과도 일치한다.
문제 해결 기준
지수함수의 평행이동에서는 이동된 그래프의 좌표를 원함수에 바로 대입하지 않는다. 먼저 가로 이동량과 세로 이동량을 반대로 적용한 뒤 밑을 추정해야 한다. 이런 순서를 익히는 과정은 일곡지구과외에서 그래프 해석과 식의 대응을 함께 점검할 때도 유용하다.
최종적으로는 복원한 함수를 다시 이동시켜 주어진 점과 점근선을 모두 만족하는지 확인한다.