봉선지구 중3수학과외

봉선지구 중3수학과외, 연속한 수를 식으로 옮기는 순간

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서로 이웃한 세 자연수의 곱은 가운데 수의 3배보다 40 크다. 세 수를 구하여라.

답보다 먼저 드러난 잘못된 식

학생은 문제에서 ‘서로 이웃한 세 자연수’를 읽고 곧바로 가운데 수를 x라고 놓았다. 그러나 프린트의 비슷한 예제에서 세 수가 x, x+1, x+2 순서로 제시되었던 것을 떠올린 뒤, 조건을 다시 읽지 않고 다음처럼 적었다.

x(x+1)(x+2)=3x+40

학생은 이어서 “가운데 수가 x이므로 곱은 x를 포함한 세 수의 곱”이라고 설명했다. 하지만 이 식은 세 수의 곱을 세 개의 수가 등장하는 식으로 만들었고, 문제의 조건인 ‘곱은 가운데 수의 3배보다 40 크다’를 그대로 표현한 것도 아니다. 실제로 문제의 세 수는 연속한 수이고, 곱셈 결과와 비교되는 대상은 가운데 수의 3배이다. 학생은 예제의 식 모양을 먼저 따르면서, 어떤 수를 기준으로 둘지와 문장 속 관계를 확인하지 않았다.

여기서 결과를 계산하다가 틀린 것이 최초의 문제는 아니었다. 원문 조건을 식으로 옮기기 전에 예제의 순서를 결론처럼 사용한 판단이 가장 먼저 어긋났다.

한 줄의 기준을 세워 다시 표현하기

교정은 풀이 전체를 바꾸는 것이 아니라, 식을 쓰기 직전에 기준을 한 번 적는 것으로 제한했다. 학생은 종이에 다음을 먼저 기록했다.

• 가운데 수를 x로 둔다.
• 연속한 세 수는 x-1, x, x+1이다.
• 세 수의 곱 = 가운데 수의 3배 + 40이다.

이 기준에 따라 식은

(x-1)x(x+1)=3x+40

이 된다. 다만 이 문제는 ‘세 수의 곱’을 조건으로 제시했으므로, 이를 전개하면 삼차식이 된다. 따라서 학생이 처음 적은 식의 형태가 이차방정식으로 이어지지 않는 이유도 확인할 수 있었다. 프린트의 문장을 다시 읽으니 실제 문제는 다음과 같이 인쇄되어 있었다.

서로 이웃한 두 자연수의 곱은 큰 수의 3배보다 40 크다. 두 수를 구하여라.

학생은 문제를 정확히 고친 뒤 큰 수를 x로 정했다. 작은 수는 x-1이므로, 원문 조건은

x(x-1)=3x+40

이다. 이차방정식으로 정리하면 x²-4x-40=0이고, 두 수의 관계를 식으로 옮기는 핵심은 계산보다 먼저 ‘큰 수’와 ‘작은 수’를 문장에 맞게 배치하는 데 있었다. 이 과정에서 다른 풀이법을 추가하지 않고, 잘못된 예제 의존만 바로잡았다.

표현이 달라진 새 문제

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아닌, 질문의 방향과 조건의 위치가 달라진 문제를 제시했다.

두 연속한 정수 중 작은 수와 큰 수의 곱은 작은 수의 2배보다 24 작다. 작은 수를 구하기 위한 이차방정식을 세워라.

학생은 이번에는 큰 수를 x로 두지 않고, 질문이 작은 수를 요구한다는 점을 먼저 반영하여 작은 수를 x로 표시했다. 큰 수는 x+1이므로 곱은 x(x+1)이다. ‘작은 수의 2배보다 24 작다’는 말은 2x-24로 옮겼다. 따라서 학생이 세운 식은

x(x+1)=2x-24

이고, 정리하면 x²-x+24=0이다. 이때 학생은 “작은 수를 x로 잡았으므로 큰 수는 x+1이며, 비교 기준도 작은 수 x이다”라고 풀이 옆에 적었다. 앞선 문제와 수와 질문 방향이 달라졌지만, 연속한 두 수를 기준 수와 그 다음 수로 나타내고 문장의 관계를 등식으로 바꾸는 기준은 유지되었다.

힌트 없이 남긴 검산 기록

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었다.

연속한 두 자연수의 곱은 작은 수의 5배보다 14 크다. 큰 수를 x라 할 때, 두 수 사이의 관계를 나타내는 이차방정식을 세우고 작은 수를 구하여라.

학생은 큰 수가 x이므로 작은 수는 x-1이라고 적었다. 문장의 ‘5배보다 14 크다’를 5x-14로 해석하여

x(x-1)=5x-14

를 세웠고, 정리한 식은 x²-6x+14=0이었다. 이후 학생은 답을 억지로 정하지 않고, “큰 수를 x로 둔 뒤 작은 수를 x-1로 나타냈는지, 오른쪽이 큰 수 기준인지”를 확인했다. 원래 문장이 작은 수 기준이었다는 점을 다시 대입해 식의 기준을 점검했다.

이 검산 기록은 계산 결과만 확인한 것이 아니다. 새 문제에서도 기준 수, 연속한 수의 표현, ‘보다 크다·작다’의 방향을 스스로 선택하고 원문과 대조했다는 점에서, 연속한 수의 관계를 이차방정식으로 표현하는 판단을 독립적으로 재현한 장면이었다.