봉선지구 중2수학과외

두 식을 더할지 뺄지, 부호에서 시작한 연립방정식 풀이

봉선지구과외 수업에서 학생은 연립일차방정식의 답을 구한 뒤에도 두 식에 대입하는 검산을 자주 생략했다. 특히 가감법을 사용할 때 계산 능력보다 먼저 필요한 것은 어느 식을 어떻게 더하거나 뺄지 판단하고, 그 과정에서 음수 부호를 끝까지 유지하는 것이었다. 봉선지구중2수학과외에서는 이 한 가지 판단을 실제 풀이 흐름 속에서 다시 확인했다.

답이 어긋난 지점을 거꾸로 찾기

학생이 풀어 온 문제는 다음과 같았다.

연필 3자루와 공책 2권의 가격은 3400원이고, 연필 2자루와 공책 3권의 가격은 3600원이다. 연필 한 자루와 공책 한 권의 가격을 각각 구하여라.

학생은 연필 가격을 x, 공책 가격을 y로 정하고 단위를 원으로 적었다.

3x+2y=3400
2x+3y=3600

두 식의 x 계수를 없애려고 첫째 식에 2를 곱하고 둘째 식에 3을 곱한 것까지는 정확했다.

6x+4y=6800
6x+9y=10800

그런데 다음 줄에서 두 식을 뺄 때 학생은 아래처럼 적었다.

5y=4000

실제로는 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 4y-9y=-5y가 되어야 한다. 학생은 최종 답인 y=-800을 보고서야 이상함을 느꼈지만, 답이 음수라는 결과보다 먼저 확인해야 할 지점은 ‘어떤 식에서 어떤 식을 뺐는가’였다.

계산 전에 남긴 한 줄

이미 맞게 세운 미지수와 두 방정식은 그대로 두었다. 대신 가감하기 직전에 두 식의 부호를 눈에 띄게 표시했다.

• 첫째 식의 y항: +4y
• 둘째 식의 y항: +9y
• 첫째 식에서 둘째 식을 빼면: +4y-(+9y)=-5y

이번에는 x항이 같은 부호이므로 두 식을 빼되, y항의 결과를 먼저 작은 옆칸에 적게 했다. 학생은 6x-6x=0, 4y-9y=-5y, 6800-10800=-4000을 각각 따로 계산했다.

-5y=-4000이므로 y=800이다. 이를 첫째 식에 넣으면 3x+1600=3400, 3x=1800, x=600이 된다. 학생은 연필 600원, 공책 800원이라고 정리한 뒤 원래 두 식에 다시 대입했다.

• 3×600+2×800=3400
• 2×600+3×800=3600

두 식이 모두 맞자 학생은 ‘음수가 나왔으니 다시 계산한다’가 아니라, 같은 항의 부호와 뺄셈 방향을 먼저 확인한다는 기준을 풀이 옆에 남겼다. 신우아파트와 이야기꽃도서관이 있는 생활권에서 접하는 물건값 상황처럼 익숙한 문장도, 식을 세운 뒤에는 부호를 따로 관리해야 한다는 점을 확인한 장면이었다.

표에서 식으로 옮길 때도 같은 판단을 적용하기

다음 문제는 숫자만 바꾼 형태가 아니었다. 두 종류의 입장권 판매량을 표로 제시하고, 전체 판매 수와 총수입을 이용해 각 티켓 수를 묻는 문제였다.

구분	판매 수	가격
일반권	x	5000원
청소년권	y	3000원

전체 판매 수가 46장, 총수입이 182000원이라면 학생은 먼저

x+y=46
5000x+3000y=182000

이라고 적었다. 이번에는 첫 식에 3000을 곱해 3000x+3000y=138000으로 만든 뒤, 두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼기로 했다. x항의 계수와 y항의 부호를 비교하면서 ‘둘째 식-첫째 식’이라고 화살표를 표시했다.

2000x=44000이므로 x=22, y=24이다. 질문은 청소년권의 판매 수였으므로 마지막에 y=24를 답으로 골랐다. 식의 순서가 바뀌고 질문 방향도 달라졌지만, 소거할 항을 정한 뒤 뺄셈 방향과 부호를 기록하는 판단은 그대로 이어졌다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

한 주 뒤 학생은 다음 문제를 별도의 표시 없이 시작했다.

두 수의 합은 31이고, 큰 수의 3배에서 작은 수의 2배를 뺀 값은 24이다. 두 수를 구하여라.

학생은 큰 수를 x, 작은 수를 y로 정하고 x+y=31, 3x-2y=24라고 썼다. 첫 식에 2를 곱하면 2x+2y=62가 되므로, 둘째 식과 비교해 y항을 없애려면 두 식을 더하는 대신 둘째 식에서 첫째 식을 빼는 것이 아니라, 첫째 식을 둘째 식에 맞춰 더하는 방식이 편하다고 설명했다.

두 식을 더하면 5x=86이 되어 x=17.2가 된다. 학생은 여기서 멈추지 않고 ‘큰 수와 작은 수가 정수라는 조건이 없으므로 가능한 값’이라고 판단한 뒤 y=13.8을 계산했다. 이어 17.2+13.8=31, 3×17.2-2×13.8=24를 직접 확인했다.

학생은 도움 없이 미지수의 뜻을 먼저 정하고, 소거할 항과 연산 방향을 말로 설명했으며, 계산 후에는 두 원래 식을 모두 검산했다. 가감법의 부호를 지키는 판단이 특정 예제의 절차가 아니라 새로운 문장과 식에서도 재현되는지 확인한 순간이었다.