흑석동 중3수학과외

흑석동 중3수학과외에서 살펴본 완전제곱식 풀이

흑석동과외 수업에서도 계산 자체는 빠르지만, 표현이 바뀐 순간 부호와 해를 확인하지 않아 답을 놓친 풀이가 있었습니다.

나란히 적은 두 식에서 드러난 한 줄의 빈틈

문제는 다음과 같았습니다.

x²-6x+5=0을 완전제곱식으로 변형하여 풀어라.

학생은 교과서 풀이를 따라 먼저 양변에서 5를 빼고 이렇게 적었습니다.

x²-6x=-5

이어 x²-6x의 완전제곱식 변형에 필요한 수 9를 양변에 더해

x²-6x+9=4

라고 썼습니다. 여기까지는 정확했습니다. 왼쪽을 (x-3)²로 바꾸면

(x-3)²=4

가 됩니다. 그런데 옆에 다른 표현을 정리하면서 학생은 이 식을 곧바로 “x-3=4이므로 x=7”이라고 결론 내렸습니다. 처음 식의 계산 과정은 맞았지만, 제곱된 식에서 해를 결정하는 부분을 한쪽 경우만 읽은 것입니다. 특히 (x-3)²=4와 x-3=4는 같은 식이 아닙니다.

바꾼 것은 식의 모양이지, 해의 조건이 아니다

오류가 시작된 지점은 마지막 계산이 아니라, (x-3)²=4에서 제곱 안의 값을 한 가지로만 정한 판단이었습니다. 완전제곱식으로 바뀐 식은 제곱한 결과가 4라는 뜻이므로 제곱 안의 값은 2 또는 -2가 될 수 있습니다.

교정은 한 가지 행동만 바꾸어 진행했습니다. 완전제곱식으로 만든 뒤, 해를 정하기 전에 필요한 식과 조건을 한 줄로 먼저 적게 했습니다.

(x-3)²=4
x-3=±2
x=5 또는 x=1

앞에서 이미 맞았던 변형 x²-6x+9=4는 그대로 유지했습니다. 이제 두 값을 원래 방정식에 대입했습니다.

• x=5이면 25-30+5=0
• x=1이면 1-6+5=0

두 값 모두 원래 식을 만족하므로 해는 1과 5입니다. 여기서 다른 풀이법을 추가한 것이 아니라, 표현이 (x-3)²=4로 바뀐 뒤에도 양의 경우와 음의 경우를 함께 기록한 것입니다. 완전제곱식 풀이에서는 원래 방정식의 등식과 변형된 등식 사이의 관계를 유지해야 합니다.

문장 조건과 식의 방향을 바꾼 연습

다음 연습에서는 숫자만 바꾸지 않고, 문제의 표현과 질문 방향을 달리했습니다.

방정식 x²+4x-5=0의 두 해 중 양수가 아닌 해를 구하여라. 완전제곱식을 이용하라.

이번에는 처음부터 상수항을 반대편으로 옮겨

x²+4x=5

를 만들었습니다. x²+4x에 필요한 수는 4이므로 양변에 4를 더하면

x²+4x+4=9

입니다. 따라서

(x+2)²=9

가 됩니다. 학생은 이번에는 제곱 안의 값을 두 경우로 분리해

x+2=3 또는 x+2=-3

이라고 적었습니다. 해는 x=1, -5이고, 문제에서 요구한 “양수가 아닌 해”는 -5입니다. 질문이 두 해 전체가 아니라 조건에 맞는 하나의 해를 묻고 있었으므로, 두 해를 먼저 구한 뒤 문장 조건을 다시 적용했습니다. 완전제곱식으로 이차방정식을 푸는 같은 세부개념 안에서 식의 부호와 질문 방향을 바꾼 사례입니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이 기록

며칠 뒤에는 도움 없이 다음 문제를 제시했습니다.

3x²-12x+9=0을 완전제곱식이 드러나도록 변형하고, 모든 해를 원래 방정식에 대입하여 확인하라.

학생은 먼저 모든 항을 3으로 나누어

x²-4x+3=0

을 만들고, 상수항을 옮겨 x²-4x=-3이라고 적었습니다. 이어 4를 양변에 더해

(x-2)²=1

을 얻었습니다. 이번에는 별도의 안내 없이

x-2=1 또는 x-2=-1

이라고 기록하여 x=3, 1을 구했습니다. 마지막으로 원래 식에 각각 대입했습니다.

• x=3: 3×9-12×3+9=0
• x=1: 3×1-12×1+9=0

학생은 “완전제곱식이 된 뒤에는 제곱 안의 값이 한 방향이라고 단정하지 않고 두 경우를 적는다. 그리고 문제의 조건이 있으면 두 해를 확인한 뒤 조건에 맞는 해를 고른다”고 설명했습니다. 흑석동중3수학과외에서 확인한 변화는 풀이량이 늘어난 것이 아니라, 식의 표현이 바뀌는 순간 해를 결정하는 조건을 스스로 보존했다는 점입니다.