흑석동 고2수학과외







두 접선의 결과에서 거꾸로 원인을 확인하다
학생의 최종 답안에는 기울기 0인 접선이 두 개 적혀 있었다. 함수가 f(x)=x^3-3x일 때 접점은 (-1, 2), (1, -2)이고 접선의 방정식은 각각 y=2, y=-2였다. 이 결과가 맞는지 역문제로 검증하면서, 처음 풀이에서 접점 후보 하나를 빠뜨린 흔적도 함께 확인했다.
검증의 출발점은 기울기다
접선의 기울기가 m=0이므로 접점의 x좌표는 원함수가 아니라 도함수에서 찾아야 한다.
f'(x)=3x2-3
f'(x)=0을 풀면
3x2-3=0 → x2=1 → x=-1 또는 x=1
따라서 가능한 접점이 두 개라는 사실이 먼저 확정된다.
최초 오류와 수정된 계산
원함수에 기울기를 대입한 잘못된 풀이
처음에는 기울기 m=0을 원함수에 대입하여 f(x)=0을 풀었다.
x3-3x=0 → x(x2-3)=0
이 방식은 함수값이 0인 점을 찾는 과정일 뿐, 접선의 기울기가 0인 점을 찾는 조건이 아니다. 따라서 얻은 x값은 접점 후보가 될 수 없다.
도함수에서 접점 후보를 찾기
접선의 기울기는 도함수의 값이므로 f'(x)=m을 세워야 한다.
3x2-3=0에서 x=-1, 1을 얻는다.
이제 원함수에 대입한다.
- f(-1)=(-1)3-3(-1)=2 → 접점 (-1, 2)
- f(1)=1-3=-2 → 접점 (1, -2)
접선 방정식과 독립 검산
기울기가 0인 직선은 수평선이다. 따라서 각 접점의 함수값이 곧 접선의 y절편이 된다.
(-1,2)에서의 접선: y=2
(1,-2)에서의 접선: y=-2
두 직선 모두 기울기가 0이고, 해당 접점을 지나간다. 또한 f'(-1)=0, f'(1)=0이므로 두 접선은 모두 조건을 만족한다.
수완고등학교 인근에서 흑석동과외를 통해 이 유형을 다룰 때도 “기울기 조건은 도함수, 좌표 계산은 원함수”라는 순서를 분리하면 후보 누락과 함수 대입 오류를 줄일 수 있다.