LearnMap

흑석동 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

두 접선의 결과에서 거꾸로 원인을 확인하다

학생의 최종 답안에는 기울기 0인 접선이 두 개 적혀 있었다. 함수가 f(x)=x^3-3x일 때 접점은 (-1, 2), (1, -2)이고 접선의 방정식은 각각 y=2, y=-2였다. 이 결과가 맞는지 역문제로 검증하면서, 처음 풀이에서 접점 후보 하나를 빠뜨린 흔적도 함께 확인했다.

검증의 출발점은 기울기다

접선의 기울기가 m=0이므로 접점의 x좌표는 원함수가 아니라 도함수에서 찾아야 한다.

f'(x)=3x2-3

f'(x)=0을 풀면

3x2-3=0 → x2=1 → x=-1 또는 x=1

따라서 가능한 접점이 두 개라는 사실이 먼저 확정된다.

최초 오류와 수정된 계산

원함수에 기울기를 대입한 잘못된 풀이

처음에는 기울기 m=0을 원함수에 대입하여 f(x)=0을 풀었다.

x3-3x=0 → x(x2-3)=0

이 방식은 함수값이 0인 점을 찾는 과정일 뿐, 접선의 기울기가 0인 점을 찾는 조건이 아니다. 따라서 얻은 x값은 접점 후보가 될 수 없다.

도함수에서 접점 후보를 찾기

접선의 기울기는 도함수의 값이므로 f'(x)=m을 세워야 한다.

3x2-3=0에서 x=-1, 1을 얻는다.

이제 원함수에 대입한다.

  • f(-1)=(-1)3-3(-1)=2 → 접점 (-1, 2)
  • f(1)=1-3=-2 → 접점 (1, -2)

접선 방정식과 독립 검산

기울기가 0인 직선은 수평선이다. 따라서 각 접점의 함수값이 곧 접선의 y절편이 된다.

(-1,2)에서의 접선: y=2

(1,-2)에서의 접선: y=-2

두 직선 모두 기울기가 0이고, 해당 접점을 지나간다. 또한 f'(-1)=0, f'(1)=0이므로 두 접선은 모두 조건을 만족한다.

수완고등학교 인근에서 흑석동과외를 통해 이 유형을 다룰 때도 “기울기 조건은 도함수, 좌표 계산은 원함수”라는 순서를 분리하면 후보 누락과 함수 대입 오류를 줄일 수 있다.

흑석동 고2수학과외 학부모 후기

다음 날 수학 노트를 정리하는데, 아이가 해설과 자기 풀이를 펼쳐 놓고 두 내용이 처음 달라지는 한 줄을 먼저 찾고 있더라고요. 끝까지 해결하지 못한 부분에는 작은 표시도 남겨 두었어요. 예전에는 다시 살펴볼 때 어디부터 봐야 할지 정하지 않은 채 해설지만 넘기거나 답부터 확인하는 경우가 많았거든요. 저녁 식사 후 방에 들어갔을 때도 책상 주변을 치우면서 해설지와 자기 풀이를 나란히 놓고 있었습니다. 여러 줄을 한꺼번에 대조하는 게 아니라 다른 부분 하나만 짚어 비교하더라고요. 흑석동 수학과외 이야기를 나누며 지켜보던 중이었는데, 풀이가 달라진 지점을 먼저 찾아보는 모습이 눈에 띄었어요. 표시해 둔 곳은 노트 한쪽에 따로 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

다음 수학 발표 자료를 챙기던 저녁, 아이가 방정식에서 나온 후보 해를 원래 식에 다시 대입하고 있더라고요. 하나씩 넣어 보면서 실제로 남겨야 할 값인지 확인했고, 확인한 부분과 아직 살펴볼 부분도 나눠 표시해 두었습니다. 그 모습을 보니 전과는 꽤 달랐어요. 예예전에는 풀이하다가 다시 볼 곳이 생겨도 그날 바로 손대지 않고 넘어가는 일이 있었거든요. 이번에는 답만 보고 지나가지 않고, 원래 식에 직접 넣어 맞는지 확인하는 과정이 먼저 보이더라고요. 흑석동 수학과외 관련 자료를 정리하던 날에도 같은 방식으로 문제를 살펴봤습니다. 구한 값들을 차례로 대입한 뒤 남길 값만 따로 확인하고, 아직 판단하지 않은 부분은 그대로 구분해 둔 채 프린트를 정리하더라고요.

★★★★★학부모 후기

흑석동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 답이 바로 나오지 않으면 불안해하며 답지를 먼저 보곤 했습니다. 선생님은 시험 전날 복습할 내용을 함께 고를 때도 아이가 왜 막혔는지부터 차분히 듣고, 부담스럽지 않게 수업량을 조절해 주셨습니다. 요즘은 숙제가 많다고 느끼면 먼저 이야기하고, 모르는 문제도 끝까지 생각해 보려는 모습이 보여 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

흑석동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 평일 저녁 아이가 책상에 앉는 표정부터 조금 편안해졌습니다. 예전에는 문제 하나에 막히면 숙제를 미루곤 했지만, 선생님이 수업 전 질문할 문제를 직접 골라보게 하고 풀이 과정을 먼저 말하도록 기다려 주셔서 부담이 줄었다고 합니다. 시험기간에도 해야 할 분량을 직접 확인하며 시작하는 모습을 보니 작은 변화지만 참 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

흑석동에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이는 어려운 문제만 보면 책상에 앉기부터 부담스러워했습니다. 선생님은 질문을 대충 넘기지 않고 왜 막혔는지 들어본 뒤, 아이가 감당할 수 있도록 공부량과 수업 흐름을 조절해 주셨습니다. 시험 전 마지막 주말에는 스스로 복습 순서를 정하고 숙제량이 많을 때도 먼저 말하는 모습이 보여 마음이 놓였습니다.

★★★★★학부모 후기