흑석동 중2수학과외

흑석동 중2수학과외에서 확인한 일차부등식의 방향

흑석동과외 수업에서 학생은 “한 달 사용 시간이 18시간을 넘지 않아야 하고, 기본 사용 시간은 6시간, 추가 한 시간마다 2천 원이 든다. 추가 비용을 최대 2만 4천 원으로 제한할 때 추가 가능한 시간은?”이라는 문제를 만났다.

표현을 옮기기 전, 학생이 적어 둔 것

학생은 문제에서 ‘최대 24,000원’을 동그라미 치고, 추가 시간을 x라고 표시했다. 이어서 추가 비용을 2x로 적고 “2x≤24”라고 썼다. 단위를 천 원으로 통일한 점은 맞았다. 그런데 다른 표현으로 제시된 풀이 자료에서는 식이 “24-2x≥0”으로 나타나자 두 식의 해가 어떻게 연결되는지 멈춰 생각하지 않고 바로 이항했다.

24-2x≥0 → -2x≥-24 → x≥12

학생은 수직선에서 12의 오른쪽을 색칠하려 했고, “최대 비용이면 시간이 커질수록 안 되는 것 아닌가요?”라고 되물었다. 결과값 12가 틀렸다는 사실보다 먼저 살펴볼 부분은 음수인 -2로 나누면서 부등호 방향을 그대로 둔 판단이었다. 식을 옮기는 과정 자체는 시작할 수 있었지만, 부등호 방향을 유지해도 되는지 확인하지 않은 것이 최초의 어긋남이었다.

한 줄만 바로잡아 원래 풀이를 살리기

교사는 이미 맞게 적은 “24-2x≥0”을 지우지 않았다. 대신 -2로 나누는 줄 아래에 “음수로 나누면 방향 반대”라고 짧게 표시하게 했다.

-2x≥-24 → x≤12

그다음 학생은 처음 적었던 2x≤24에도 같은 판단을 적용했다. 양변을 2로 나누는 것은 양수로 나누는 일이므로 방향이 그대로 남아 x≤12가 된다. 두 표현이 서로 다른 답을 내는 것이 아니라, 하나는 ‘사용 가능한 비용이 남아 있다’는 표현이고 다른 하나는 ‘추가 비용이 한도를 넘지 않는다’는 표현임을 식으로 대응시켰다. x는 시간으로 쓰였으므로 x≥0도 함께 적고, 수직선에는 12에 속이 찬 점을 찍은 뒤 왼쪽을 표시했다.

학생은 경계값을 직접 넣어 검산했다. x=12이면 2×12=24이므로 허용 한도와 같고, x=13이면 26이 되어 최대 24를 넘는다. x=8에서는 16이므로 조건을 만족한다. 이 계산으로 “최대”가 경계값을 포함하며, 해가 12보다 작은 쪽이라는 점을 수직선과 숫자로 확인했다.

식이 아닌 문장과 표에서 다시 연결하기

다음 문제는 식을 먼저 주지 않았다. 어떤 체험권의 남은 좌석이 30석이고, 한 모둠에 학생 3명씩 들어갈 때 모둠 수를 n이라 하자고 했다. 안내문에는 “모둠 수는 남은 좌석으로 수용할 수 있는 범위를 넘지 않는다”라고 적혀 있었고, 표에는 모둠 수와 필요한 좌석이 다음처럼 제시되어 있었다.

• n=7일 때 필요한 좌석 21
• n=10일 때 필요한 좌석 30
• n=11일 때 필요한 좌석 33

학생은 문장을 읽고 ‘넘지 않는다’에 밑줄을 그은 뒤 3n≤30을 세웠다. 이번에는 식을 풀기 전에 표의 n=10을 대입해 30≤30, n=11을 대입해 33≤30이라고 비교했다. 이어서 “가능한 모둠 수는 10 이하”라고 수직선에 나타냈다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장과 표의 대응을 식으로 바꾸고 질문의 방향을 ‘가능한 값의 범위’로 해석한 것이다.

또 다른 자료에서는 수직선에 -4가 속이 찬 점으로 표시되고 왼쪽 부분이 색칠되어 있었다. 학생은 표시만 보고 답을 외우지 않고, “-4 이하이므로 x≤-4이고, 경계 -4를 포함한다”고 문장으로 되돌렸다. 이때 부등식의 방향을 바꾸는 계산은 없었으므로 음수 나눗셈을 적용하지 않았다는 이유도 덧붙였다.

힌트 없이 세운 첫 판단과 최종 확인

수업 끝에 학생에게 다음 조건을 새로 제시했다. “어떤 수 x에 5를 더한 값은 2보다 작지 않다.” 학생은 바로 ‘작지 않다’에 표시하고 x+5≥2라고 적었다. 양변에서 5를 빼는 것은 부등호 방향을 바꾸지 않으므로 x≥-3이라고 풀이했다.

학생은 왜 방향을 유지했는지 스스로 설명했다. “이번에는 음수를 곱하거나 나누지 않고 양변에 같은 수를 빼기만 했기 때문입니다.” 이어 x=-3을 대입해 -3+5=2로 경계가 포함됨을 확인하고, x=-4를 넣으면 1≥2가 거짓이므로 해의 왼쪽 값은 제외된다고 검산했다. 흑석동중2수학과외 수업에서 확인한 최종 변화는 정답을 말한 데 있지 않고, 새로운 문장에서도 첫 부등호를 세우고 계산 과정과 범위의 근거를 혼자 설명한 데 있었다.