흑석동 중1수학과외

등식의 모양이 달라져도 양변의 같은 수를 빼는 연습

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학생의 첫 풀이에서 시작된 오류

문제는 다음과 같았다.

어떤 수에 7을 더하면 19가 된다. 어떤 수를 x라 할 때 x의 값을 구하여라.

학생은 문제를 읽고 공책에 x+7=19라고 정확히 적었다. 여기까지는 문장 속 ‘어떤 수’와 미지수 x를 잘 연결했다. 그런데 다음 줄에 이전에 풀었던 식의 모양을 떠올리며 x=19+7이라고 썼다. 계산을 잘못한 순간보다 앞서, 등식의 오른쪽 수 19와 더해진 7의 관계를 확인하지 않고 식의 모양을 복사한 것이 최초의 어긋난 판단이었다.

학생은 보기에서 답을 찾을 수 없는 문제라서 26을 그대로 답으로 적으려 했다. 교사는 새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 학생이 만든 첫 식을 유지한 채 7을 없애는 한 가지 조작만 다시 표시하게 했다.

x+7=19

x+7-7=19-7

x=12

왼쪽에서 7을 빼면 x만 남고, 오른쪽에서도 반드시 같은 7을 빼야 등식이 유지된다는 흐름을 화살표로 연결했다. 학생은 ‘19에서 7을 빼는 이유’를 답에 맞추기 위한 계산이 아니라, x에 붙은 7을 없애기 위한 계산이라고 문장으로 적었다. 이미 맞았던 미지수 설정과 첫 식은 그대로 두고, 양변에 같은 수를 빼는 줄만 바로잡은 것이다.

식이 아닌 문장과 표로 다시 만난 등식

다음 활동에서는 숫자만 바꾸지 않고 문제의 표현을 바꾸었다.

한 상자에 같은 수의 연필이 들어 있다. 여기에 0.8개가 아니라 0.8이라는 양을 더한 값이 3.5이다. 같은 수를 구하여라.

학생은 문장을 읽고 ‘같은 수’를 x로 정한 뒤 x+0.8=3.5라고 나타냈다. 이번에는 곧바로 계산하지 않고, 식 아래에 양변을 나란히 적었다.

x+0.8-0.8=3.5-0.8

x=2.7

소수 형태에서도 x에 붙은 수를 양쪽에서 똑같이 빼야 한다는 점을 확인했다. 이어서 표의 왼쪽 칸에 ‘미지수에 0.8을 더한 값’, 오른쪽 칸에 ‘3.5’를 적고, 식으로 바꾸는 과정을 설명했다. 표현이 문장에서 식으로 바뀌었지만, 먼저 미지수를 정하고 그 미지수에 어떤 수가 더해졌는지 찾은 뒤 양변에서 그 수를 빼는 순서는 같았다.

힌트 없이 진행한 독립 확인

수업 끝부분에는 다음 조건만 제시하고 풀이 과정을 가렸다.

어떤 수에서 4를 빼면 11과 같다. 그 수를 구하여라.

학생은 먼저 x-4=11이라고 적었다. 앞의 문제에서 7을 빼던 모양을 그대로 복사하지 않고, 이번에는 x에 붙은 것이 ‘-4’임을 확인했다. 따라서 양변에 4를 더해야 한다고 판단하여 x-4+4=11+4, x=15를 완성했다. 이때도 등식의 한쪽만 바꾸면 안 된다는 이유를 스스로 설명했다.

마지막으로 구한 값을 원래 식에 대입했다.

15-4=11

왼쪽 계산 결과가 오른쪽 조건과 같으므로 답이 맞다고 확인했다. 이어 학생은 “문장을 식으로 바꿀 때 x의 뜻을 먼저 정하고, x에 붙은 수를 없애기 위해 양변에 같은 수를 반대 연산으로 적용한다. 그 뒤 원래 등식에 대입해 확인한다”고 정리했다. 흑석동과외에서 진행한 이 과정은 흑석동중1수학과외에서 등식 문제를 만났을 때에도 식의 겉모양보다 조건과 미지수의 관계를 먼저 살피도록 하는 실제 풀이 기록이 되었다.