수완지구 중3수학과외

수완지구 중3수학과외에서 확인한 y=ax²의 대응 읽기

수완지구과외 수업에서 한 학생이 다음 문제를 풀었다. “함수 y=ax²의 그래프가 점 (2, 8)을 지나고, 점 (1, 2)의 위치도 나타낸다.

그래프의 모양보다 먼저 읽어야 할 것

학생의 풀이 기록에는 첫 줄부터 판단이 드러났다.

“그래프가 위로 벌어져 있으므로 a는 양수이다. 따라서 a=2로 보고, x=−3을 넣으면 y=2×(−3)=−6이다.”

여기서 x=−3을 대입하는 계산도 제대로 이루어지지 않았다. 하지만 최종 계산보다 먼저 어긋난 지점은 그래프의 모양만 보고 계수와 좌표를 정한 부분이다. 특히 y=ax²에서 x에 −3을 넣으면 x²까지 계산해야 하는데, 학생은 그래프가 위로 향한다는 인상만으로 a=2라고 단정한 뒤 식의 대응 관계를 확인하지 않았다.

수완지구중3수학과외에서는 이때 풀이를 전부 지우게 하지 않고, 처음 판단한 한 줄만 바꾸었다. 그래프의 모양은 a가 양수인지 참고하는 정보일 뿐, a의 정확한 값이나 한 점의 y값을 대신 정해 주지는 않는다. 좌표 (2, 8)은 x=2, y=8이 서로 대응한다는 뜻이므로 식에 그대로 기록한다.

한 점을 식에 연결해 계수를 정하다

점 (2, 8)을 y=ax²에 대입하면

8=a×2²

이므로

8=4a, a=2

가 된다. 이제 x=−3이라는 새로운 입력값과 그에 대응하는 y를 연결한다.

y=2×(−3)²=2×9=18

학생은 a=2라는 결과를 그래프의 모양에서 추측하지 않고, 좌표와 식을 맞춰 확인했다. 또한 −3을 그대로 곱하는 것이 아니라 먼저 제곱하여 x²의 자리에 넣었다. 이미 맞았던 8=4a와 a=2의 계산은 유지하고, 좌표를 식에 직접 대응시키는 행동만 바로잡은 것이다.

표로 제시된 문제에서 같은 기준을 선택하기

며칠 뒤에는 식을 먼저 보여 주지 않고 일부 값만 표로 제시했다.

x	−2	0	3
y	12	0	?

문제는 “위 표가 y=ax²에 따른 값일 때 a와 물음표의 값을 구하여라.”였다. 이번에는 그래프가 없고 표의 모양도 달랐지만, 학생은 x=−2와 y=12가 한 쌍으로 대응한다는 점을 먼저 표시했다.

12=a×(−2)²=a×4

따라서 a=3이고, 표의 x=3에 대응하는 값은

y=3×3²=27

이다. x=0에서 y=0이라는 표의 값도 식에 맞지만, 그 한 쌍만으로는 a를 정할 수 없다는 점도 구분했다. 0을 넣으면 언제나 y=0이 되므로 계수의 정보를 직접 제공하는 입력값은 아니다. 이는 다른 개념을 끌어온 것이 아니라, 주어진 식에서 x와 y가 대응하는 방식을 선별한 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀었다.

“y=ax²의 그래프 위에 점 (−4, 20)이 있다. 이 함수에서 x=5일 때의 y를 구하고, 얻은 값이 식과 맞는지 설명하여라.”

학생은 먼저 “(−4, 20)이므로 x=−4, y=20을 식에 넣는다”고 적었다.

20=a×(−4)²=16a

따라서 a=5/4이고, x=5일 때

y=5/4×5²=5/4×25=125/4

라고 답했다. 이어서 검산란에는 “125/4=(5/4)×25이므로 x=5를 넣었을 때의 함수값과 일치한다. 처음 점도 (5/4)×(−4)²=20이므로 계수 선택이 맞다”라고 썼다. 그래프의 인상이나 숫자의 위치를 추측하지 않고, 새롭게 주어진 좌표를 식에 대응시킨 뒤 두 값을 다시 대입해 확인한 장면이다.