수완지구 중2수학과외

수완지구 중2수학과외에서 살펴본 연립방정식의 대입 순서

수완지구과외 수업에서 학생과 연립일차방정식의 대입법을 풀던 중, 계산 실수보다 먼저 살펴야 할 판단이 드러났다. 수완지구중2수학과외에서는 답을 빨리 구하는 것보다 두 식이 함께 성립하는지 확인하는 과정을 중심에 두었다.

한 식에서 얻은 값을 곧바로 답으로 적은 이유

학생은 다음 문제를 보고 식을 공책에 옮겼다.

y=2x+1, 3x+y=11을 대입법으로 풀어라.

먼저 첫 번째 식에서 y를 2x+1로 표시한 뒤, 두 번째 식에 그 값을 넣었다. 학생의 풀이에는 다음과 같은 흐름이 보였다.

3x+(2x+1)=11
5x=10
x=2

여기까지 계산한 뒤 학생은 답을 x=2라고 네모 칠하려 했다. 교사는 계산 결과가 틀렸다고 바로 말하지 않고, 지금 구한 값이 어느 문자에 대한 값인지 손가락으로 짚게 했다. 학생은 x만 구했음을 확인했지만, 이미 첫 번째 식을 만족시키는 값이면 해가 완성된다고 생각하고 있었다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 한 식에서 얻은 x값 하나를 두 식의 해로 확정한 것이었다. 두 미지수가 있는 연립방정식에서는 한 문자의 값을 얻은 뒤 다른 식에 다시 넣어 나머지 문자의 값을 구해야 한다.

남길 식과 대입할 식을 구분한 한 가지 교정

학생이 이미 한 계산은 그대로 두었다. 3x+y=11에 y=2x+1을 넣어 x=2를 구한 과정은 맞았기 때문이다. 수정한 부분은 x=2를 첫 번째 식에 대입하는 한 행동뿐이었다.

y=2×2+1=5

학생은 답을 (x,y)=(2,5)로 다시 적었다. 이어 두 원래 식을 나란히 적고 각각 검산했다.

• 첫 번째 식: 5=2×2+1이므로 5=5
• 두 번째 식: 3×2+5=11이므로 11=11

이 장면에서 대입할 식은 이미 한 문자가 정리되어 있는 식으로 골랐고, 남길 식에는 그 표현을 넣어 다른 문자를 구했다. 중요한 것은 식을 선택하는 방식 자체보다, 한 문자의 값이 나온 뒤 반드시 다른 문자를 계산하고 두 식을 모두 확인하는 순서였다.

표현이 달라진 문제에서 같은 판단 적용하기

다음 문제는 앞의 식처럼 y가 바로 정리되어 있지 않았다.

2x-y=4
x+y=5
두 직선의 교점의 좌표를 대입법으로 구하여라.

학생은 이번에는 가감법으로 곧장 풀지 않고, 대입법에 맞게 두 번째 식에서 y를 먼저 정리했다.

y=5-x

그다음 이 표현을 첫 번째 식에 넣었다.

2x-(5-x)=4
3x-5=4
3x=9
x=3

학생은 잠시 멈추어 “아직 y를 구하지 않았으므로 교점 좌표가 완성되지 않았다”고 말했다. 이어 y=5-3=2를 계산하고, 좌표를 (3,2)로 적었다. 이번에는 문제의 식 순서와 문자 위치가 달라졌지만, 먼저 한 문자를 정리하고 다른 식에 대입한 뒤 남은 문자를 구하는 판단을 스스로 세웠다.

검산도 두 식에 각각 진행했다.

• 2×3-2=4
• 3+2=5

특히 두 번째 식에서만 확인하고 끝내지 않고, 대입이 이루어진 첫 번째 식까지 다시 넣어 보았다. 계산 중 괄호 앞의 마이너스 부호를 놓치지 않으려고 2x-(5-x)처럼 괄호를 유지한 점도 확인했다.

힌트 없이 재현한 최종 확인

수업 끝 무렵 새 문제를 제시했다.

x=7-y, 2x+3y=17일 때 x와 y를 구하여라.

학생은 도움을 기다리지 않고 “첫 식은 x가 이미 정리되어 있으므로 x=7-y를 두 번째 식에 대입하겠다”고 먼저 설명했다.

2(7-y)+3y=17
14-2y+3y=17
y=3

이어 첫 번째 식에 y=3을 넣어 x=4를 구했다. 마지막으로 두 원래 식을 모두 검산했다.

• 첫 번째 식: 4=7-3
• 두 번째 식: 2×4+3×3=17

학생은 “한 식에서 구한 값 하나는 중간 결과이고, 두 미지수의 값을 모두 구한 뒤 원래 두 식에 넣어야 해”라고 풀이 이유를 정리했다. 대입할 식과 남길 식을 고르는 기준, 남은 문자를 계산하는 순서, 두 식을 확인하는 근거가 도움 없이 이어졌다는 점에서 같은 대입법 판단을 새 문제에서도 재현했다.