수완동 중3수학과외
수완동 중3수학과외, 완전제곱식에서 해의 경계를 읽는 연습
수완동과외 수업에서 오답노트를 함께 복기하다 보면, 계산은 맞게 진행했지만 식의 조건이 달라진 순간 해를 그대로 결론 내리는 경우가 있습니다. 수완하나중학교와 수완중학교가 포함된 생활권, 이야기꽃도서관 인근 생활권에서 중3수학과외를 알아보는 학생들도 자주 만나는 장면입니다. 이번에는 완전제곱식으로 이차방정식을 풀 때 제곱한 식의 값이 어떤 범위에 있어야 하는지를 끝까지 확인하는 한 사건에 집중했습니다.
오답노트에 남은 한 줄
문제는 다음과 같았습니다.
3(x-2)2+5=2x+8을 완전제곱식의 형태를 이용하여 풀어라.
학생은 먼저 전개하지 않고 양변을 정리했습니다.
3(x-2)2+5=2x+8
3(x-2)2=2x+3
그다음 양변을 3으로 나누어
(x-2)2=(2x+3)/3
이라고 적었습니다. 여기까지는 식을 한쪽의 제곱 형태로 옮긴 기록입니다. 그러나 학생은 오른쪽에 x가 남아 있는데도 곧바로 “제곱근을 취하면 x-2=±(2x+3)/3”이라고 썼습니다. 이후 두 일차식으로 계산해 x=9와 x=-3/5를 얻고 답으로 제출했습니다.
이 풀이에서 결과 계산보다 먼저 어긋난 판단은, (x-2)2의 제곱근을 취할 때 오른쪽을 제곱근의 값이 아니라 원래 식 그대로 놓은 것입니다. 또한 이 식은 완전제곱식과 상수만으로 양변을 분리한 형태가 아니므로, 우선 전개하여 x에 관한 이차방정식을 완전제곱식으로 다시 만들어야 합니다.
바꾼 것은 식을 완전제곱식으로 모으는 한 행동
학생이 이미 적은 첫 정리에서 크게 벗어나지 않고, 양변을 전개해 x항을 한쪽으로 모으는 것만 바로잡았습니다.
3(x2-4x+4)+5=2x+8
3x2-12x+17=2x+8
3x2-14x+9=0
이제 x2의 계수를 1로 만들고 상수항을 옮깁니다.
x2-(14/3)x=-3
x의 계수 절반인 -7/3을 제곱하여 양변에 더하면
x2-(14/3)x+49/9=-3+49/9
(x-7/3)2=22/9
오른쪽은 양수이므로 두 경우가 생깁니다.
x-7/3=±√22/3
x=(7+√22)/3 또는 x=(7-√22)/3
처음 오답에서 이미 맞았던 계산을 억지로 유지하지 않고, 잘못된 제곱근 판단이 발생한 지점만 완전제곱식을 만든 뒤 다시 계산했습니다. 핵심은 제곱근 기호를 붙이는 순간, 오른쪽 값의 부호와 해의 개수를 함께 확인하는 것입니다.
표현을 바꾼 독립 문제
며칠 뒤에는 식의 모양과 질문 방향을 바꾸어 다음 문제를 제시했습니다.
어떤 실수 x에 대하여 (x+1)2+4x=12이다. 이 방정식의 해가 한 개뿐인지, 두 개인지 판단하고 해를 구하여라.
학생은 이번에는 먼저 전개했습니다.
x2+2x+1+4x=12
x2+6x=11
양변에 9를 더해
x2+6x+9=20
즉,
(x+3)2=20
으로 바꾸었습니다. 여기서 학생은 “20은 양수이므로 제곱해서 20이 되는 수가 두 개”라고 먼저 판단한 뒤
x+3=±2√5
x=-3+2√5 또는 x=-3-2√5
라고 썼습니다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 처음 문제처럼 괄호를 포함한 식에서 출발하고 질문도 ‘해를 구하라’가 아니라 해의 개수와 값을 함께 판단하도록 바꾸었습니다. 그래도 기준은 같았습니다. 완전제곱식의 오른쪽이 양수인지 확인한 뒤 부호를 두 갈래로 나누는 것입니다.
힌트 없이 다시 확인한 마지막 기록
마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
방정식 2x2+8x+6=0의 해 중 큰 해를 구하고, 왜 다른 해도 함께 생기는지 설명하여라.
학생은 2로 나누어
x2+4x+3=0
상수항을 옮긴 뒤 4를 더했습니다.
x2+4x=-3
x2+4x+4=1
(x+2)2=1
그리고
x+2=±1
x=-3 또는 x=-1
이라고 답했습니다. 큰 해는 -1입니다. 학생은 “완전제곱식의 오른쪽이 1처럼 양수이므로 +와 -를 모두 써야 하며, 두 값을 원래 식에 대입하면 각각 0이 된다”고 설명했습니다.
실제로 x=-3이면 18-24+6=0, x=-1이면 2-8+6=0입니다. 이번에는 식의 형태가 달라져도 완전제곱식으로 옮긴 뒤 오른쪽의 값과 ±를 스스로 확인하고, 원래 방정식에 대입해 검산까지 마쳤습니다.