수완동 고3수학과외

교점 개수의 경계에서 멈춰 세운 판단

수완동 생활권에서 수완고등학교와 명진고등학교 주변 학습 자료를 정리하던 중, 학생은 매개변수에 따라 두 그래프의 교점 개수가 달라지는 문제를 풀었다. 수완동고3수학과외에서 자주 다루는 유형처럼 보였지만, 이번 기록의 초점은 공식을 빨리 적용하는 일이 아니라 교점 개수가 바뀌는 경계값을 끝까지 확인하는 데 있었다.

문제는 구간 \(0\le x\le5\)에서 \(y=x^2-4x+3\)과 수평선 \(y=t\)의 교점 개수를 \(t\)의 범위별로 묻는 형태였다. 학생은 먼저 포물선의 꼭짓점이 \((2,-1)\)이고 양 끝점의 함수값이 각각 \(3,8\)이라는 점을 찾아 그래프의 구조를 비교적 정확히 복원했다. 그러나 그다음 “일반적으로 수평선이 포물선을 두 번 자른다”는 규칙을 그대로 적용해 \(t=-1,3,8\)에서도 모두 두 교점이라고 적었다.

한 줄의 규칙이 놓친 끝점

오류는 계산 중간이 아니라 범위 분류를 시작할 때 생겼다. 학생은 꼭짓점에서의 접점과 정의역 끝점에서 생기는 교점을 일반적인 두 교점 경우에 포함시켰다. 특히 \(t=3\)일 때 방정식은

\(x^2-4x+3=3\Rightarrow x(x-4)=0\)

이므로 \(x=0,4\), 두 교점이 맞다. 하지만 \(t=8\)에서는

\(x^2-4x+3=8\Rightarrow x^2-4x-5=0\Rightarrow x=-1,5\)

이고 정의역 \(0\le x\le5\)에서 허용되는 것은 \(x=5\) 하나뿐이다. 또 \(t=-1\)에서는 \((x-2)^2=0\)이므로 교점은 한 개다. 학생은 식을 풀 수 있었지만, 경계값을 별도 후보로 떼어 확인하지 않았던 것이다.

구간과 경계값을 따로 적기

풀이를 고칠 때 새로운 공식을 추가하지 않고, 매개변수의 일반구간과 예외가 되는 값을 분리했다. 먼저 그래프가 정의역에서 만드는 함수값의 범위를 살폈다.

• 최솟값은 꼭짓점에서 \(-1\)
• 왼쪽 끝점의 값은 \(3\)
• 오른쪽 끝점의 값은 \(8\)

그 뒤 \(t\)를 다음처럼 나누어 표에 기록했다.

• \(t<-1\): 교점 0개
• \(t=-1\): 교점 1개
• \(-1
• \(3\le t<8\): 교점 2개
• \(t=8\): 교점 1개
• \(t>8\): 교점 0개

여기서 \(t=3\)은 양 끝점 중 하나가 그래프에 포함되지만 다른 교점도 존재하므로 교점 수가 2개이고, \(t=8\)은 오른쪽 끝점만 남는다는 차이를 직접 대입으로 확인했다. 일반 규칙을 경계에 밀어붙이지 않고, 경계값 하나를 원래 식에 넣어 허용되는 \(x\)를 확인하는 행동으로 오류를 차단한 셈이다.

그래프 대신 표가 주어졌을 때

독립 적용에서는 포물식이 바로 주어지지 않고, \(0\le x\le6\)에서 함수 \(g(x)\)의 주요 값이 다음처럼 제시된 문제를 사용했다. 최솟값은 \(g(2)=-2\), 끝점 값은 \(g(0)=4\), \(g(6)=10\)이며 그래프는 아래로 다시 내려가지 않는다고 조건에 적혀 있었다. 수평선 \(y=k\)와의 교점 수를 묻자 학생은 먼저 \(k=-2,4,10\)을 경계 후보로 표시하고, 일반구간과 분리했다.

이번에는 식을 억지로 복원하지 않았다. \(k=-2\)에서는 꼭짓점 한 점, \(k=10\)에서는 오른쪽 끝점 한 점이라는 그래프 관계를 조건과 대조했다. \(k=4\)에서는 왼쪽 끝점과 내부에서 만나는 점이 모두 포함될 수 있음을 확인한 뒤, 표에 주어진 단조성 조건을 이용해 교점 수를 결정했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 식 대신 표와 그래프 정보가 앞에 놓였지만, “극값과 정의역 끝점의 함수값을 먼저 찾고 경계값을 대입한다”는 판단은 그대로 작동했다.

마지막으로 해설을 덮고 \(y=x^2-4x+3\), \(1\le x\le4\)에서 \(y=t\)의 교점 수를 다시 분류하게 했다. 학생은 꼭짓점값 \(-1\), 양 끝점값 \(0\)과 \(3\)을 직접 계산한 뒤 \(t=-1,0,3\)을 예외 후보로 따로 적었다. 특히 \(t=3\)에서 해가 \(x=0,4\)로 나오지만 \(x=0\)은 새 정의역 밖이라 제거하고, \(x=4\)만 남긴다고 설명했다. 수완동과외 학습 기록에 남은 변화는 정답보다 이 판단 순서였다. 그래프의 모양을 본 뒤에도 끝점과 부호 변화 지점을 별도로 확인하고, 최종 후보를 원래 정의역에 다시 대입하는 습관이 새로운 조건에서도 유지되었다.