수완동 중2수학과외

수완동 중2수학과외에서 다룬 최대 조건의 경계 읽기

수완동과외 수업에서 학생은 수완하나중학교가 포함된 생활권의 실생활 문제처럼 제시된 일차부등식을 풀었다. 수완동중2수학과외에서는 단순히 답을 고르는 데 그치지 않고, ‘최대’라는 말이 경계값을 포함하는지와 조건이 바뀌는 예외를 구분하는 데 초점을 맞췄다.

한 줄의 부호에서 시작된 오답

문제에는 “한 번에 이용할 수 있는 시간이 최대 40분이고, 기본 준비 시간 8분을 제외한 실제 활동 시간은 x분이다. 준비 시간과 활동 시간의 합이 40분을 넘지 않을 때 x의 범위를 구하여라.”라고 적혀 있었다. 학생은 먼저 ‘최대 40분’을 동그라미 치고, 전체 시간을 8+x로 세웠다. 여기까지는 정확했다.

학생은 공책에 8+x≤40을 적은 뒤 양변에서 8을 빼 x≤32를 얻었다. 이어 “활동 시간이 32분보다 길면 안 된다”고 문장으로 설명하고, 수직선에 32를 찍었다. 그런데 별도의 예외 조건에서 “준비 시간을 포함한 전체 시간이 40분보다 작아야 한다”고 바뀌자, 학생은 8+x<40을 세운 뒤 양변에서 8을 뺄 때 부등호를 그대로 유지했다. 그 다음 문제에서 “활동 시간이 음수로 표시된 변화량 y를 사용한다”는 조건을 읽고는 -y≤32에서 y≤-32라고 적었다.

결과값 자체보다 먼저 어긋난 판단은 음수를 곱하거나 나눌 때에도 부등호 방향을 유지한 것이었다. 학생은 수직선의 오른쪽이 항상 큰 수라는 사실만 떠올리고, 식을 변형하는 순간의 부호를 확인하지 않았다.

부등호 방향과 경계 표시를 한 번에 맞추기

교정에서는 이미 맞았던 ‘전체 시간을 먼저 식으로 나타내기’ 과정을 그대로 두었다. 다만 음수로 나누거나 곱하는 줄에는 빨간 화살표를 그어 부등호 방향이 뒤집힌다고 표시했다. 예를 들어 -y≤32에서 양변을 -1로 나누면 y≥-32가 된다. 방향을 바꾼 뒤에는 y=-32를 원래 식에 넣었다. -(-32)=32이므로 조건을 만족한다는 검산도 함께 적었다.

경계값의 포함 여부는 말과 수직선을 대조했다. “최대”, “넘지 않는다”, “이하”는 경계값을 포함하므로 닫힌 점과 ≤, ≥를 사용한다. 반대로 “미만”, “보다 작다”는 경계값을 제외하므로 열린 점과 <, >를 사용한다.

학생은 “최대 40분이면 40분도 가능하므로 32에 닫힌 점, 40분보다 작으면 40은 안 되므로 열린 점”이라고 자신의 표시 이유를 말로 설명했다.

식이 아닌 조건표로 바꿔 확인한 적용

변형 문제에서는 시간 대신 온도 변화량을 표로 제시했다. 기준 온도에서 변화량 y가 음수이고, 실제 감소량이 32 이하라는 조건이었다. 표에는 y=-35, -32, -20, 4가 놓였고, 학생은 각 값을 식 -y≤32에 차례로 대입했다. -35는 35≤32가 아니므로 제외하고, -32는 32≤32이므로 포함했다. -20은 포함되며, 4는 변화량이 음수라는 조건 자체에 맞지 않아 따로 제외했다.

이번에는 숫자만 바꾸지 않고, 부등식을 바로 푸는 대신 표의 값과 조건을 연결했다. 학생은 “범위는 y≥-32이지만, 변화량이라는 추가 조건 때문에 y는 0보다 작은 값만 살핀다”고 적었다. 이처럼 부등식의 해와 문제에 붙은 별도 조건을 분리하자, 경계에 해당하는 값과 조건 밖의 값을 혼동하지 않았다.

도움 없이 재현한 최종 검증

마지막 문제는 “기준량보다 t만큼 줄어든 값이 18 이상이어야 한다. 기준량이 50일 때 t의 범위를 구하고, t가 실제 감소량이라면 가능한 값만 표시하여라.”였다. 학생은 먼저 50-t≥18이라고 세웠다. 양변에서 50을 빼 -t≥-32를 만든 뒤, -1로 나누면서 부등호를 뒤집어 t≤32라고 설명했다.

학생은 t=32를 원래 식에 넣어 50-32=18이므로 포함된다고 확인하고, t=33을 넣어 17이 되어 조건을 벗어난다고 검산했다. 이어 실제 감소량이므로 t≥0도 함께 살펴 수직선에 0과 32를 모두 닫힌 점으로 표시했다. “최대 감소량은 32이고, 32는 원래 조건을 만족한다. 음수를 나누는 줄에서 방향을 바꿨으며, 경계 안팎의 값을 대입해 표시와 식이 같은지 확인했다”고 스스로 풀이를 마무리했다.