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광주우산동 고2수학과외

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두 명이 반드시 포함되는 위원회

수완고등학교 학생 8명 중 4명을 위원으로 뽑을 때, 민수와 지수 두 명이 반드시 포함되어야 한다고 하자. 이미 두 사람을 선택했으므로 남은 6명 중 2명만 고르면 된다.

학생 풀이 기록에서 찾은 오류

처음에는 전체 8명에서 4명을 고르는 문제로 바꾸어 8C4를 계산했다. 하지만 이 식은 민수와 지수가 포함되지 않은 경우까지 모두 세므로 조건을 반영하지 못한다.

필수 대상이 정해진 경우에는 전체 인원과 선택 인원을 모두 필수 인원만큼 줄여야 한다.

6C2 = 15

조건을 일반식으로 바꾸기

전체 n명 중 r명을 고를 때 특정 k명이 반드시 포함된다면, 필수 k명은 먼저 선택된 것으로 본다. 따라서 나머지 n-k명 중 r-k명을 선택한다.

경우의 수 = n-kC r-k

표현이 바뀐 문제에서도 같은 원리 적용하기

“위원회에 특정 두 학생을 포함하여 4명을 구성하라”는 문장은 “두 학생을 먼저 정하고 나머지 두 자리를 채우라”는 뜻이다. 문항의 표현이 달라져도 필수 인원을 먼저 처리해야 한다.

광주과외에서 이 유형을 다룰 때도 학생이 전체에서 r명을 고르는지, 필수 대상을 제외한 나머지를 고르는지를 먼저 구분하게 하면 계산 실수가 줄어든다.

최종 검증

선택된 위원회에는 민수와 지수가 항상 들어가고, 나머지 두 자리는 6명 중에서 고른다. 따라서 조건을 만족하는 위원회 수는 15개이며, 8C4를 그대로 사용하는 것은 필수 포함 조건을 반영하지 않은 계산이다.

광주우산동 고2수학과외 학부모 후기

주말 아침에 간식을 가져다주려고 방에 들어갔다가 시험지와 수업 준비물을 펼쳐 놓은 걸 보게 됐어요. 틀린 문제를 유형별로 다시 옮겨 적는 대신, 시험지 옆에 왜 틀렸는지만 짧게 적고 있더라고요. 예전에는 처음 고른 이유나 계산한 과정을 따로 남겨두지 않아서, 나중에 봐도 어디서 잘못됐는지 찾기 어려웠거든요. 이번에는 원본에 바로 적어 두니 다시 확인할 부분이 눈에 띄었습니다. 광주우산동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 저는 그 장면이 꽤 기억에 남았어요. 새 단어 목록을 받았을 때도 별도 종이에 옮겨 쓰지 않고, 원래 시험지에 틀린 까닭을 간단히 남겼습니다. 그리고 다음에 볼 곳을 한 군데 정해 두었어요. 문제를 많이 적어두기보다 틀린 이유와 다시 볼 지점을 시험지 안에서 바로 찾게 해둔 모습이 전과 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 자습을 마치고 온 날이라 피곤할 텐데도 문제를 푼 뒤 바로 답지를 찾지 않더라고요. 적어 놓은 답 옆에서 단위가 제대로 붙었는지, 문제에서 정한 범위를 벗어나지는 않았는지부터 살펴보고 있었습니다. 예전에는 풀이를 끝내면 맞았는지만 확인하고 지나가는 일이 많았거든요. 광주우산동 수학과외 이야기를 나누며 보던 중에도 그 장면이 꽤 눈에 띄었어요. 답을 적는 것으로 끝내지 않고 문제의 조건과 자신의 계산을 다시 맞춰 보는 모습이 전과 달랐습니다. 예전에는 나중에 다시 볼 문제를 따로 구분해 두는 일도 거의 없었는데, 이번에는 확인이 필요한 대상을 좁혀 표시해 두었어요. 주말 복습 때도 먼저 답 뒤의 단위와 범위를 살핀 다음, 조건이 빠진 부분이 없는지 차례로 확인했습니다. 그리고 다시 볼 문제만 남겨 두고 나머지는 정리했는데, 무작정 처음부터 전부 들여다보는 모습과는 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

시험지 한쪽에 계산 흔적은 거의 없고, 조건 부분에만 동그라미가 그려져 있더라고요. 수학 수업 전날 저녁, 공부를 마친 줄 알았는데 아이가 그 표시를 다시 보면서 풀이를 처음부터 이어가고 있더라고요. 예전에는 틀린 답을 발견해도 어디서 판단이 달라졌는지는 따로 남기지 않았거든요. 광주우산동 수학과외 이야기를 나누며 평소 시험지를 보던 모습도 떠올려 봤는데, 이번에는 답을 바로 고치기보다 조건부터 다시 읽는 순서가 눈에 띄었어요. 풀이 전체를 지우지 않고 처음 읽어야 할 부분을 골라 다시 시작하는 모습이었습니다. 수행평가 자료를 챙기던 날에도 계산을 쓰기 전에 조건 문장에 먼저 작은 표시를 하더라고요. 그 뒤 확인한 자리에는 별도의 흔적도 남겨 두었고요. 종이를 넘기기 전에 표시한 조건과 자기 계산을 차례로 살펴보는 모습이 보이더라고요.

★★★★☆학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 유난히 많던 날에도 아이는 광주우산동 수업에 가기 전부터 부담스러워했습니다. 선생님께서는 할 수 있는 문제부터 차분히 풀게 하며 진도를 조절했고, 틀린 문제도 함께 다시 살펴보며 편하게 질문하도록 이끌어 주셨습니다. 몇 차례 지나자 집에서도 답이 틀렸다고 바로 포기하지 않고 한 번 더 확인하는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

광주우산동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 숙제에서 막힌 문제를 그냥 넘기고, 질문할 생각조차 잘 하지 않았습니다. 선생님은 틀린 답을 바로 지적하기보다 어느 부분에서 생각이 달라졌는지 차분히 함께 찾아 주셔서, 아이가 부담 없이 자신의 풀이를 설명하게 했습니다. 요즘은 공부를 시작하면 모르는 문제를 먼저 꺼내 보여 주고 수업에서 궁금했던 점도 스스로 이야기해 부모로서 반가운 변화가 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

어려운 문제를 만나면 금세 집중을 놓고, 아는 내용도 맞게 풀었는지 여러 번 확인하던 아이가 광주우산동 수학과외를 시작하며 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 막힐 때 같은 설명만 반복하지 않고 문제나 활동을 바꾸어 이해했는지 살폈고, 시험 범위를 받은 날에도 아이의 집중 상태에 맞춰 수업을 조절해 주셨습니다. 요즘은 공부 계획을 미루는 일이 줄고 수학을 시작할 때의 부담도 한결 편안해 보입니다.

★★★★★학부모 후기