광주우산동 고등수학과외
광주 우산동에서 고등수학과외를 진행할 때 로그함수 그래프를 다루면 계산 결과보다 정의역과 점근선의 연결을 먼저 확인하게 된다. 수완고등학교와 정광고등학교 학생들도 로그의 값은 구하면서 그래프의 근거를 한 줄로 설명하는 단계에서 자주 멈춘다. 우산빛여울채와 늘해랑작은도서관 인근에서 만난 한 학생의 풀이에서는 그 장면이 선명하게 드러났다.
log14(196)을 그래프로 이어 보는 순간
문제에는 로그함수 y=log14x의 그래프와 log14(196)의 값을 함께 묻는 상황이 제시됐다. 학생은 먼저 “진수 x가 양수여야 하므로 정의역은 x>0”이라고 말했다. 이어 142=196을 이용해 log14(196)=2를 적었다. 여기까지는 계산과 정의역 모두 맞았다.
그런데 그래프를 그리면서 학생은 정의역의 연결 후보를 급하게 확정했다. x=0을 기준으로 양쪽에 값이 가까워질 수 있다고 생각해 세로 점근선을 x=0으로 표시하면서도, 왼쪽 구간에도 그래프 일부를 그리려 했다. 점근선의 식만 외운 채 진수가 양수라는 조건을 그래프 전체에 적용하지 못한 것이다. 이 첫 오류가 생기자 점근선이 왜 필요한지 설명하는 근거도 사라졌다.
정의역에서 그래프까지 한 칸씩 확인하기
풀이를 지우고 식의 안쪽부터 다시 확인했다. 로그함수 y=log14x에서 진수 x는 반드시 0보다 커야 한다. 따라서 그래프가 존재하는 구간은 x>0 하나뿐이며, x=0은 함수에 넣을 수 없다. x가 0의 오른쪽에서 양의 값으로 가까워지면 log14x는 한없이 작아지므로 그래프는 x=0의 오른쪽에서 아래로 내려간다. 반면 x가 0의 왼쪽에 있으면 진수가 음수가 되어 실수 로그를 정의할 수 없다.
이 내용을 학생은 풀이 중간에 짧게 메모했다. “정의역 x>0, 따라서 x=0은 세로 점근선이지만 왼쪽 그래프는 없음.” 이 한 문장이 점근선의 위치와 그래프가 나타나는 방향을 동시에 설명했다. 또 196=142이므로 점 (196, 2)가 그래프 위에 놓인다는 것도 확인했다. 단순히 답 2를 적는 것과, 그 점이 그래프의 어느 부분에 있는지 연결하는 것은 다른 작업이었다.
조건을 바꾼 뒤 혼자 적용한 문제
다음에는 사분면을 표시하지 않은 빈 좌표평면에 y=log14x의 그래프를 직접 그리게 했다. 이번에는 특정 점을 먼저 찍지 않고 정의역부터 적도록 했다. 학생은 x>0을 쓴 뒤 x=0을 점근선으로 표시하고, (1, 0), (14, 1), (196, 2)를 오른쪽 영역에만 배치했다. 음의 x축 쪽에는 선을 그리지 않았다.
조건을 바꾼 새 문항에서는 y=log14(x-3)을 제시했다. 학생은 진수 x-3>0에서 x>3을 얻고, 점근선을 x=3으로 옮겼다. 그래프가 x=3의 오른쪽에서만 나타난다는 점도 혼자 표시했다. 밑이 14라는 사실은 점근선의 위치가 아니라 증가 방향과 값 계산에 영향을 준다는 점까지 구분했다.
마지막에는 원래 식에 다시 넣어 확인한다
새 문제를 푼 뒤에는 답을 다른 방식으로 검산했다. log14(196)=2라는 결과를 지수형식 142=196으로 되돌려 보았고, 그래프에서는 x=196일 때 y=2가 되는지 확인했다. 또 x=0을 원래 식에 대입하려 했을 때 log140은 정의되지 않으므로, x=0은 그래프 위의 점이 아니라 가까이 갈 때 기준이 되는 선이라는 점을 구별했다.
점근선은 선을 먼저 외워 그리는 대상이 아니라, 함수가 정의되지 않는 경계와 그 주변의 움직임에서 확인한다.
자주 묻는 내용
log14(196)의 값은 무엇인가요?
14를 몇 번 곱해야 196이 되는지 묻는 식이므로 값은 2이다.
y=log14x의 점근선은 왜 x=0인가요?
진수 조건이 x>0이고, x가 0의 오른쪽에서 가까워질 때 함수값이 아래로 끝없이 작아지기 때문이다.
점근선의 왼쪽에도 로그 그래프를 그릴 수 있나요?
실수 범위의 y=log14x에서는 진수가 음수가 되므로 그릴 수 없다.
밑 14가 점근선 위치를 바꾸나요?
바꾸지 않는다. y=logax에서 진수 조건이 x>0인 한 세로 점근선은 x=0이다.
log14(x-3)에서는 무엇을 먼저 보나요?
x-3>0을 풀어 정의역 x>3을 정하고, 그 경계인 x=3을 점근선으로 확인한다.