복대동 청주외국어고등학교 수학과외







비슷한 조건 사이에서 독립성을 가른 한 가지 값
청주외국어고등학교 학생은 두 사건의 조건이 거의 비슷하게 제시된 문항에서 자꾸 결론을 바꾸어 적었다. 복대동에서 진행한 풀이에서도 두 조건을 나란히 적고 달라진 부분에는 표시했지만, 그 차이가 독립성 판단에 실제로 영향을 주는지까지 연결하지 못했다.
표시는 했지만 결론이 뒤집힌 지점
학생은 먼저 각 조건의 교집합 확률과 각각의 확률을 구분해 적었다. 그러나 비교 과정에서 결과를 바꾸는 요소와 단순히 표현만 달라진 요소를 반대로 판단했다. 결국 독립성의 기준인 P(A∩B)=P(A)P(B)를 확인하면서도, 어느 값이 양변의 관계를 깨뜨리는지 잘못 골라 결론이 뒤집혔다.
예를 들어 두 조건에서 P(A)와 P(B)는 같고 P(A∩B)만 달라진다면, 판단의 중심은 교집합 확률의 변화다. 반대로 교집합 확률은 같고 한 사건의 확률이 달라진다면 곱셈값 P(A)P(B)를 다시 계산해야 한다. 학생은 이 둘을 섞어 보면서 차이가 있다는 사실만으로 독립 여부를 결정하려 했다.
두 조건을 결과와 연결한 비교표
교정할 때는 조건을 다음처럼 항목별로 나누어 적게 했다.
- P(A)의 변화 여부
- P(B)의 변화 여부
- P(A∩B)의 변화 여부
- 새로 계산한 P(A)P(B)와 P(A∩B)의 일치 여부
그 다음 각 항목 옆에 ‘판단값 변화’와 ‘표현만 변화’를 구분하게 했다. 마지막에는 반드시 P(A∩B)와 P(A)P(B)를 직접 나란히 놓았다. 두 값이 같으면 독립, 같지 않으면 독립이 아니라는 결론을 차이의 방향이 아니라 관계식의 성립 여부로 결정하도록 한 것이다.
독립성은 조건이 비슷한지로 판단하는 것이 아니라, P(A∩B)와 P(A)P(B)의 관계가 실제로 같은지로 판정한다.
조건을 바꾼 문항에서 다시 확인한 판단
이후에는 교집합 확률이 그대로인 상태에서 P(B)만 달라지는 새 문항을 제시했다. 학생은 이전처럼 달라진 문장을 곧바로 결론으로 옮기지 않고, 먼저 바뀐 P(B)로 P(A)P(B)를 계산했다. 이어 그 값을 P(A∩B)와 비교해 두 값이 다르다는 이유를 근거로 독립이 아니라고 판정했다.
최종 검증에서는 계산 결과를 가린 뒤, 처음 제시된 관계식에서 어떤 중간값을 거쳐 결론이 나오는지 역순으로 설명하게 했다. 학생은 결론을 먼저 외우지 않고, P(A)P(B)의 값과 P(A∩B)의 값을 확인한 뒤 일치 여부가 독립성 판단을 결정한다고 짚었다.