대전중구 충남여자고등학교 수학과외
곱의 주기에서 ‘주기’와 ‘최소주기’를 구분한 순간
대전중구에서 수학 과외를 받던 학생은 여러 답 후보 중 sin bx와 cos bx의 주기를 각각 2π/|b|로 계산해 판단하는 문제를 풀고 있었다. 버드내1단지아파트 인근 학습 공간에서 풀이를 이어 가며, 남은 선택지마다 조건에 맞는지 작은 기호로 표시했지만 마지막 판단에서 멈췄다.
학생은 각 함수의 주기를 계산하는 데에는 익숙했다. 그러나 두 함수를 곱한 sin bx cos bx에서도 곧바로 2π/|b|를 답으로 적어도 되는지, 그 값이 단순히 성립하는 주기인지 가장 작은 주기인지 설명하는 대목에서 표현이 흐려졌다.
각 인자의 주기와 곱의 최소주기를 나눈 풀이
먼저 학생이 표시한 식을 그대로 따라가지 않고, 곱을 삼각함수의 곱셈 공식으로 바꾸었다.
sin bx cos bx = 1/2 sin 2bx
따라서 sin bx와 cos bx 각각의 기본 주기는 2π/|b|이지만, 곱 전체는 sin 2bx의 주기를 따라 기본 주기가 π/|b|가 된다. 2π/|b|도 그 곱의 주기이기는 하지만 최소주기는 아니다. 학생이 처음 계산한 값 자체보다, 그 값이 어떤 대상의 주기인지와 ‘최소’라는 조건이 붙었는지를 구별하는 것이 핵심이었다.
기호 표시 없이 식의 변형으로 다시 확인하기
앞에서 답 후보를 표시하던 방법은 잠시 내려놓고, 다른 검산 경로를 사용했다. T=π/|b|를 대입하면
sin(2b(x+T)) = sin(2bx+2π·b/|b|)
가 되어 b의 부호와 관계없이 원래 값으로 돌아온다. 반면 각 인자에 대해서는 2π/|b|를 넣어야 항상 같은 값이 된다. 이 비교를 통해 학생은 2π/|b|를 계산하는 일과 곱 전체의 최소주기를 정하는 일을 분리해서 설명했다.
계수와 표현을 바꾼 독립 적용
이후에는 앞의 식을 복사하지 않고 sin 3x cos 3x를 제시했다. 학생은 곱셈 공식을 이용해
sin 3x cos 3x = 1/2 sin 6x
로 바꾼 뒤, 각 인자의 주기는 2π/3, 곱의 최소주기는 π/3이라고 구분했다. 단순히 계수에 절댓값을 넣는 데서 멈추지 않고, 변형된 식의 각계수까지 확인해 답을 직접 구성했다.
마지막에는 선택지 없이 “2π/|b|는 각 인자의 기본 주기이자 곱에도 성립하는 주기지만, sin bx cos bx의 최소주기는 π/|b|”라고 정리하게 했다. 계산값과 필수 조건을 분리해 말할 수 있는지 확인하면서 풀이의 오류가 시작된 지점도 정확히 찾아냈다.