간석동 신명여자고등학교 수학과외
결론에서 거꾸로 찾은 미분계수의 조건
간석동에서 진행한 한 수업에서 학생은 주어진 풀이가 타당한지 결론부터 역으로 점검하는 문제를 만났다. 핵심은 lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h를 공식처럼 적용하는 것이 아니라, 실제로 그 극한이 존재하는 조건을 직접 계산으로 확인하는 일이었다.
나눗셈까지 갔지만 다음 근거가 비어 있던 지점
학생은 완성된 결론에서 출발해 f(a+h)-f(a)를 구하고, 이를 h로 나누는 단계까지는 되짚었다. 그러나 그 결과를 곧바로 다음 식의 근거로 사용하면서, 앞 단계의 조건이 뒤 단계의 충분한 이유인지 구분하지 못했다.
예를 들어 f(x)=x²라면
{f(a+h)-f(a)}/h = {(a+h)²-a²}/h = 2a+h
이고 h→0에서 값은 2a로 정해진다. 이때 중요한 것은 단순히 분자에 h가 포함되었다는 사실이 아니라, h≠0인 상태에서 약분한 뒤 남은 식의 극한이 실제로 존재한다는 점이다.
필요조건을 충분조건으로 착각한 순간
학생은 처음에 차분식이 h로 나누어질 수 있으면 미분계수가 성립한다고 판단했다. 하지만 이 조건만으로는 부족했다. f(x)=|x|, a=0을 대입하면
{f(0+h)-f(0)}/h = |h|/h
가 된다. 오른쪽에서 h→0이면 1, 왼쪽에서 h→0이면 -1이므로 하나의 극한값으로 모이지 않는다. 분모를 형식적으로 처리할 수 있다는 사실이 미분계수의 존재를 보장하지 않는다는 반례였다.
중간에 얻은 차분몫은 최종값이 아니라, 양쪽에서 같은 값으로 가까워지는지 확인해야 하는 판단 대상이다.
조건을 역으로 찾는 문제에서 달라진 풀이
교정할 때는 틀린 값을 지우는 대신, 학생이 결론에서 출발해 필요한 조건을 하나씩 거꾸로 표시하게 했다. 먼저 h≠0에서 차분몫이 정의되어야 하고, 그 식의 값이 h→0에서 한 값으로 수렴해야 하며, 좌우에서 서로 다른 값이 나오면 미분계수가 성립하지 않는다고 정리했다.
이후에는 원래의 x² 문제와 다른 형태로, f(x)=|x-1|에서 a=1일 때를 독립적으로 판단했다. 학생은 차분몫을 직접 |h|/h로 바꾸고 좌우 극한을 나누어 계산해, 조건을 만족하지 않으므로 해당 점에서 미분계수가 존재하지 않는다고 결론냈다.
마지막에는 식이 아니라 성립 여부를 검증했다
최종 확인에서는 새로운 계산을 반복하지 않고, 학생이 결과가 허용되는 이유를 설명하도록 했다. 학생은 h로 나눌 수 있다는 것은 필요한 출발 조건일 뿐이며, 중간에 얻은 차분몫이 양쪽에서 같은 값으로 접근해야 최종 극한을 정할 수 있다고 말했다. 이어 |x-1|의 좌우 결과가 각각 -1과 1임을 근거로, 형식적인 약분만으로 미분 가능성을 결론내릴 수 없다고 판정했다.