황금동 대구과학고등학교 수학과외







해집합의 길이와 정수해 개수를 함께 비교한 매개변수 판단
황금동에서 수학과외를 진행하던 중, 학생은 절댓값 부등식의 조건이 바뀔 때 매개변수가 어떻게 달라지는지 비교하는 문제를 풀었다. 처음에는 중간식 옆에 해집합의 길이와 정수해 개수를 따로 적어 두며 필요한 값을 잘 찾아갔지만, 그 판단이 왜 가능한지는 풀이에 드러나지 않았다.
경계 포함 여부를 지나친 풀이
예를 들어 학생은 |x-2|<a에서 2-a<x<2+a를 얻고, 해집합의 길이가 2a라는 점을 이용하려 했다. 그런데 조건이 |x-2|≤a로 바뀐 뒤에는 양끝값을 포함해야 하는데도, 다음 줄에서 등호를 빠뜨려 열린구간처럼 처리했다. 해집합의 길이 자체는 같아 보였지만, 정수해 개수를 셀 때 경계의 포함 여부가 달라지는 문제가 생겼다.
학생의 첫 오차는 해를 구하는 식을 세운 다음 줄에서 부등호를 잘못 옮긴 순간 시작됐다. 답에 필요한 값은 계산했지만, 왜 정수해 개수가 달라지는지 설명하지 않은 채 결론으로 넘어간 것이 핵심적인 흔들림이었다.
끝점이 실제 정수해인지 따로 확인하기
같은 구간의 길이를 다시 계산하는 방식은 사용하지 않고, 양끝값을 직접 대입하는 검산 경로를 택했다. a=2일 때 열린 조건은 0<x<4이므로 정수해가 1, 2, 3 세 개이고, 닫힌 조건은 0≤x≤4이므로 0,1,2,3,4 다섯 개임을 확인했다. 이 과정을 통해 해집합의 길이와 정수해 개수는 같은 기준으로 처리할 수 없으며, 부등호의 방향과 등호 포함 여부를 먼저 보아야 한다는 점을 풀이에 명시했다.
선택지 없는 새 조건에서 순서를 직접 정하다
이후에는 정답 후보가 제시되지 않은 새 문항에서 |x-3|≤b의 정수해 개수가 7개가 되도록 하는 b를 구했다. 학생은 먼저 양끝 경계를 적고, 정수점이 몇 개 포함되는지 세운 뒤, 마지막에 부등호를 원래 조건과 대조했다. b=3이면 0≤x≤6이 되어 정수해가 7개라는 결론을 스스로 만들었다.
마지막에는 경계값을 하나씩 제거했을 때 정수해 개수가 실제로 줄어드는지 확인했다. 0<x≤6이면 6개, 0≤x<6이어도 6개가 되므로 양끝 조건을 빠뜨린 예외가 남지 않는지 점검할 수 있었다. 이제 학생은 계산 결과만 제시하지 않고, 해집합의 끝점과 등호 포함 여부가 매개변수 결정에 미치는 영향까지 검증한 뒤 답을 확정했다.