대구서구 달성고등학교 수학과외
합성함수의 중간값을 생략했을 때 생긴 빈틈
대구 서구에서 달성고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 합성함수 문항의 계산 자체보다 풀이를 기록하는 순서에서 막혔다. 문제는 주어진 값을 모두 사용하는 것이 아니라, 먼저 안쪽 함수에 넣은 결과를 구한 뒤 그 값을 바깥 함수에 다시 대입해야 하는 유형이었다.
학생은 f(g(2))를 계산하면서 관련된 값만 골라 먼저 g(2)=5를 적고, 이어 f(5)=11을 이용해 답을 구했다. 불필요한 조건을 한꺼번에 옮기지 않은 점은 좋았지만, 왜 이 순서가 필요한지 설명하라는 질문에는 “안쪽부터 계산한다”고만 써서 논리가 충분히 드러나지 않았다.
답은 맞았지만 중간 관계식이 사라진 서술형
서술형 답안에는 최종적으로 f(g(2))=11이라는 결과가 남았다. 그러나 g(2)=5를 구한 뒤 그 값을 바깥 함수의 입력으로 사용했다는 연결식이 빠져 있었다. 따라서 답만 보면 계산 결과는 확인되지만, 합성함수의 구조를 따라 풀이했는지는 판단하기 어려웠다.
합성함수f(g(x))는 먼저g(x)를 계산하고, 그 결과를 다시f에 입력한다.
교정할 때는 기존에 사용한 계산 순서를 그대로 반복하지 않고, 식의 입력과 출력을 화살표처럼 나누어 확인했다. 즉 2 → g(2)=5 → f(5)=11의 흐름을 먼저 적은 뒤, 이를 식으로 f(g(2))=f(5)=11이라고 연결했다. 이렇게 하자 최종값뿐 아니라 바로 앞 단계의 근거도 답안에 남길 수 있었다.
표현을 바꾼 합성함수에서 직접 만든 관계식
다음에는 앞 문제의 식을 다시 쓰지 않고, 조건 하나만 유지한 새로운 문항을 제시했다. 예를 들어 p(q(3))에서 q(3)= -1, p(-1)=4가 주어졌다면 학생은 먼저 q(3)=-1을 확인하고, 그 값을 이용해 p(q(3))=p(-1)=4라고 작성했다.
이번에는 결과만 적지 않고 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력으로 바뀌는 관계를 직접 구성했다. 마지막으로 원래 입력값 3을 곧바로 p에 넣은 것이 아닌지 점검하고, 중간값 -1을 거치지 않으면 같은 결론을 얻을 수 없다는 점을 확인했다. 또한 각 함수가 해당 입력값에서 정의되어 있어야 한다는 조건까지 살펴보며 풀이의 범위를 마무리했다.