명장동 혜화여자고등학교 수학과외
식의 정리보다 먼저 확인한 분모의 금지값
명장동에서 진행한 수학 과외에서 학생은 문자와 수치가 함께 들어간 분수방정식을 풀며, 계산 자체보다 답의 허용 범위를 판단하는 데 어려움을 보였다. 처음부터 특정 수를 대입하지 않고 관계식을 세우려 한 점은 좋았지만, 분모가 0이 되는 값은 별도로 제외해야 했다.
같아 보이는 식이 모든 값을 답으로 만들지는 않았다
학생은 다음 식을 정리했다.
분모에 해당하는 와 가 0이 되지 않아야 하므로 먼저 , 를 기록해야 한다. 이후 양변을 정리하면 가 되어 조건을 만족하는 모든 실수가 후보처럼 보인다.
선택지를 검토하던 학생은 계산 결과가 항상 성립한다는 점만 보고 도 정답으로 골랐다. 그러나 를 원래 식에 넣으면 분모가 0이 되어 식 자체가 정의되지 않는다. 등식이 맞는지 확인하기 전에 허용되지 않는 값을 걸러내지 않은 것이 오류의 시작이었다.
답을 지우는 대신 왜 금지되는지 직접 확인한 과정
학생에게는 잘못된 후보를 단순히 삭제하게 하지 않고, 그 값을 원래 식에 대입해 반례를 만들도록 했다. 에서는 이고 라는 계산 이전에 좌변의 분모가 사라지므로, 이 값은 등식의 해가 될 수 없다. 역시 우변의 분모가 0이 된다.
그 뒤 학생은 ‘정리한 식을 만족하는가’와 ‘원래 식에서 허용되는가’를 나누어 확인했다. 분수방정식에서는 교차곱셈으로 얻은 관계식만으로 결론을 내리지 않고, 처음 표시한 분모 조건을 마지막 답에 다시 적용해야 한다는 점을 풀이에 적었다.
표현이 바뀐 식에서도 금지값을 먼저 걸러내다
새로 제시한 문제는 다음과 같았다.
학생은 먼저 , 을 적은 뒤, 임을 이용해 양변을 정리했다. 식은 허용 범위 안에서 항등적으로 맞지만, 과 을 해에 포함시키지는 않았다. 이전 식을 그대로 따라 쓰지 않고 새 분자와 분모의 관계를 직접 세워 판단한 점이 달라졌다.
마지막에는 계산된 관계식, 각 분모의 0 여부, 원래 식에 대입 가능한 범위를 순서대로 점검했다. 특히 조건을 제거하면 두 금지값도 형식상 후보가 될 수 있지만, 조건을 유지하면 정의되지 않는다는 변화를 설명하면서 최종 답에 허용되지 않는 값이 남아 있지 않음을 확인했다.