재송동 중2수학과외

경계값에서 멈춰 선 일차부등식 풀이

재송동과외 수업에서 학생은 일차부등식 문제를 풀며 계산 자체보다 경계값을 어느 쪽에 포함할지를 자주 놓쳤다. 금호어울림아파트와 센텀에이스아파트가 있는 생활권, 재송중학교가 포함된 주변 학습 사례에서도 같은 장면이 반복된다. 특히 양변에 같은 수를 더하는 과정은 부등호 방향을 바꾸지 않지만, 문장의 조건과 경계의 포함 여부가 달라지면 답의 모양이 달라진다.

답이 틀어지기 전, 학생이 멈춘 지점

학생에게 다음 부등식을 제시했다.

3x+2 > 11

학생은 문제에서 2를 확인한 뒤 양변에서 2를 없애야 한다고 생각했다. 왼쪽에는 ‘-2’를 적고 오른쪽에는 11-2=9를 계산했다. 이어서 3x>9에서 x>3을 얻었고, 수직선에 3을 빈 점으로 표시했다. 이 과정은 맞았다. 학생은 경계값 3을 원래 식에 넣어 3×3+2=11이므로 ‘11보다 크다’에 포함되지 않는다고 검산하기도 했다.

문제는 조건이 바뀐 다음 나타났다.

3x+2-5 ≤ 11-5

학생은 양변에서 같은 수를 뺀다는 사실은 읽었지만, 왼쪽의 -5를 오른쪽으로 옮기는 줄에서 부호를 놓쳤다. 식을 3x+2≤16으로 적은 것이 최초의 잘못된 판단이었다. 그 뒤에는 x≤14/3이라는 계산이 자연스럽게 이어졌지만, 이미 원래 식의 양변에 같은 수를 더하고 빼는 관계를 한쪽 항의 이동으로 바꾸면서 부호를 잘못 해석한 상태였다.

경계값을 원래 부등식에 다시 넣다

교정은 풀이 전체를 다시 외우게 하는 대신, 잘못된 한 줄만 되짚는 방식으로 진행했다. 학생이 적은 식에서 양변에 5를 더하면

3x+2-5 ≤ 11-5
3x+2 ≤ 11

이 된다는 것을 줄마다 확인했다. 따라서 -5를 오른쪽으로 옮길 때는 오른쪽에 5를 더해야 하며, 결과는 3x+2≤11이다. 이제 2를 양변에서 빼면 3x≤9, 다시 3으로 나누어 x≤3을 얻는다. 부호를 바꾸는 것은 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때이지, 같은 수를 더하거나 뺄 때가 아니라는 점도 이 문제 안에서만 확인했다.

학생은 경계값 3을 원래 부등식에 직접 대입했다.

3×3+2-5 = 6,　11-5 = 6

양변이 같으므로 ≤ 조건에 3이 포함된다. 수직선에는 3을 찬 점으로 표시하고, 왼쪽으로 선을 그었다. 직전에 풀었던 3x+2>11에서는 같은 숫자 3이 빈 점이었지만, 이번에는 조건 기호가 달라 찬 점이 된다는 차이를 표시해 두었다.

식이 아닌 문장과 표로 바꿔 확인하기

같은 개념을 숫자만 바꿔 반복하지 않기 위해 표현을 바꿨다. 다음은 상품권 잔액을 나타낸 표였다.

• 사용 전 잔액: x원
• 추가된 금액: 4,000원
• 사용 후 잔액: x+4,000원
• 사용 후 잔액 조건: 12,000원보다 작거나 같음

학생은 표를 보고 x+4,000≤12,000을 세운 뒤, 양변에서 4,000을 빼 x≤8,000이라고 적었다. 여기서는 ‘8,000원보다 작다’가 아니라 ‘8,000원 이하’이므로 경계 8,000원을 찬 점으로 나타냈다. 반대로 “사용 후 잔액이 12,000원보다 작다”라고 문장을 바꾸자 x<8,000으로 고치고 경계점을 빈 점으로 바꾸었다. 학생은 식의 계산보다 먼저 문장 속 ‘이하’와 ‘미만’을 표시했다.

도움 없이 다시 세운 판단

수업 후반에는 다음 문제를 별도 힌트 없이 제시했다.

5x-7+3 > 18+3

학생은 첫 줄 옆에 “양변에 3을 더한 상태이므로 부등호 방향은 그대로”라고 적었다. 이어 5x-7>18, 5x>25, x>5로 정리했다. 수직선에서 5를 빈 점으로 표시한 뒤, 경계값을 넣어 확인했다.

5×5-7+3 = 21,　18+3 = 21

양변이 같아서 ‘초과’ 조건에는 5가 들어갈 수 없고, 따라서 빈 점과 오른쪽 방향이 맞다고 설명했다. 또 6을 대입하면 왼쪽이 26, 오른쪽이 21이 되어 조건을 만족한다고 덧붙였다. 재송동중2수학과외 학습 기록에서 확인된 변화는 계산 속도가 아니라, 새로운 식에서도 먼저 같은 수를 더했는지, 경계가 포함되는지, 원래 부등식에서 검산되는지를 스스로 말한 점이었다.