후평동 중3수학과외

후평동 중3수학과외에서 살펴본 이차함수 교점 읽기

후평중학교와 봉의중학교가 포함된 생활권에서 학교 시험을 준비할 때, 이차함수의 식을 계산하는 것보다 먼저 그래프와 식이 가리키는 대상을 정확히 연결하는 과정이 중요합니다. 이번 후평동중3수학과외에서는 이차함수 그래프와 x축의 교점 해석만 다루었습니다.

답안에 남아 있던 한 줄

y=x²-4x+3의 그래프는 위로 열리고 x축을 두 점에서 만나므로 교점은 (-1, 0), (-3, 0)이다.

학생은 식을 보고 “위로 열린다”는 점까지는 맞게 확인했습니다. 이어서 x축과 만나는 점이 두 개라는 것도 그래프의 모양으로 예상했습니다. 그 뒤 식을 정리해

x²-4x+3=(x-1)(x-3)

으로 계산하고 x=1, 3을 얻었지만, 답안에는 처음 적은 좌표를 그대로 옮겼습니다. 계산 자체는 맞았는데, 그래프를 본 직후 교점의 x좌표를 -1, -3이라고 단정한 것이 결과를 틀어지게 만든 최초의 판단이었습니다. 그래프가 위로 열린다는 사실만으로 좌표의 부호까지 정할 수는 없습니다.

계산 전에 대상을 한 번 연결하기

틀린 판단을 전부 다시 고치기보다, 처음의 표시 하나만 바꾸었습니다. 그래프의 x축 교점은 y=0인 점이므로, 식과 그래프에서 각각 무엇을 읽는지 다음처럼 한 줄로 적게 했습니다.

• 그래프의 x축 위 점: y좌표가 0
• 식에서 찾을 값: f(x)=0이 되는 x
• 교점의 좌표: (찾은 x, 0)

그 다음에는 이미 맞게 계산한 인수분해를 그대로 사용했습니다.

f(x)=x²-4x+3=(x-1)(x-3)

f(x)=0에서 x=1 또는 x=3

따라서 x축과 만나는 점은 (1, 0), (3, 0)입니다.

마지막으로 f(1)=1-4+3=0, f(3)=9-12+3=0을 대입했습니다. 두 점의 y좌표가 실제로 0이므로 계산 결과와 그래프의 위치가 대응합니다. 여기서 새 풀이법을 여러 개 추가한 것이 아니라, 그래프를 보고 좌표를 단정하기 전에 식의 값과 축의 조건을 직접 연결한 것입니다.

표와 그림으로 바뀌어도 같은 기준

며칠 뒤에는 식을 먼저 보여 주지 않고 다음 표와 설명을 제시했습니다.

x	-2	0	2	4
y	8	0	-4	0

이 함수의 그래프가 x축과 만나는 점을 쓰라는 문제였습니다. 학생은 이번에는 표의 y값 가운데 0인 행을 먼저 표시했습니다. x=0과 x=4에 해당하므로 교점은 (0, 0), (4, 0)이라고 적었습니다. 이번 문제는 식을 인수분해하는 형태가 아니고 표로 제시되었지만, x축 위에서는 y=0이라는 같은 기준만 사용했습니다.

이어 그림에는 포물선이 x축을 왼쪽에서 한 번, 오른쪽에서 한 번 지나가며 두 교점의 눈금이 각각 -2와 5로 표시되어 있었습니다. 학생은 포물선이 위로 열린다는 모양만 보고 판단하지 않고, 표시된 교점의 x좌표를 읽어 (-2, 0), (5, 0)으로 기록했습니다. 그래프에서 직접 읽은 값과 식 또는 표에서 y=0인 값을 같은 좌표 형식으로 옮기는 연습이었습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 문제

마지막에는 다음 문제만 남겼습니다.

f(x)=x²+2x-8의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표를 구하고, 구한 좌표가 교점인지 확인하시오.

학생은 먼저 “x축과의 교점이므로 f(x)=0”이라고 쓴 뒤

x²+2x-8=(x+4)(x-2)

(x+4)(x-2)=0에서 x=-4 또는 x=2

라고 계산했습니다. 이어 교점의 좌표를 (-4, 0), (2, 0)으로 정리했습니다. 끝내지 않고 f(-4)=16-8-8=0, f(2)=4+4-8=0을 각각 확인했습니다. 힌트 없이도 그래프의 모양이나 부호를 먼저 단정하지 않고, x축의 조건인 y=0을 식과 좌표에 직접 대응시킨 뒤 검산까지 수행한 장면이었습니다.