후평동 고3수학과외

조건이 붙은 확률변수에서 먼저 걸러야 할 것

후평동의 학교와 주거지가 이어진 생활권에서 고3 수학과외를 받는 학생의 6월 모의평가 오답을 살펴보던 중, 확률변수 문항 하나가 눈에 들어왔다. 학생은 결론에 제시된 후보값을 역으로 확인하는 방식으로 접근했지만, 계산을 시작하기 전에 어떤 조건이 실제 후보를 제한하는지 표시하려고 했다. 이 방향 자체는 좋았다. 확률변수 문제에서는 식을 푸는 속도보다 사건과 확률조건을 분리하는 첫 판단이 더 중요하기 때문이다.

계산보다 먼저 표시한 제한선

문제에는 확률변수 X가 -2, 0, 1 중 하나의 값을 갖고, 매개변수 t에 따라 확률이 정해진다고 되어 있었다. 확률의 합과 주어진 조건을 정리한 결과 후보가

(4t-3)(4t-1)=0

에서 나온다고 하자. 이때 학생은 먼저 두 후보를 t=3/4, t=1/4로 적고, 확률이 음수가 되지 않으려면 0≤t≤1/2이어야 한다고 옆에 표시했다. 또 X의 평균을 판단할 때에는 음수 값을 갖는 항의 영향이 더 크므로 예상되는 부호가 음수라는 메모도 남겼다. 후보를 구한 뒤 바로 답을 고르는 대신, ① 식에서 나온 후보 ② 확률의 범위 ③ 사건 조건의 의미를 번호로 나누어 확인한 것이다.

그런데 실제 오답 풀이를 거꾸로 따라가 보니 최초의 문제는 계산 실수가 아니었다. 학생은 식을 정리할 때 주어진 조건 중 확률이 음수가 될 수 없다는 제한을 빠뜨렸다. 그래서 t=3/4도 그대로 남겨 두었고, 그 값으로 확률변수의 평균을 계산했다. 결과의 부호는 자연스러워 보였지만, P(X=0)=1-2t가 음수가 되어 확률분포가 될 수 없었다. 사건에 관한 조건과 확률조건을 한 줄에 섞어 적은 탓에, 후보를 제거해야 할 지점이 사라진 것이다.

빠진 조건만 원래 자리에 복원하기

풀이 전체를 다시 쓰게 하지는 않았다. 학생이 처음 세운 인수분해와 후보 계산은 그대로 두고, 첫 줄에 0≤t≤1/2를 복원하게 했다. 이어 t=3/4를 확률식에 대입하여 P(X=0)=-1/2가 된다는 사실만 확인했다. 이 한 번의 대입으로 해당 후보를 제거할 수 있었고, 남은 t=1/4에서는 확률이 각각 1/4, 1/2, 1/4로 모두 허용된다. 이후 평균은

E(X)=(-2)·1/4+0·1/2+1·1/4=-1/4

가 되어 앞서 적은 예상 부호와도 일치했다. 전체 계산을 반복한 것이 아니라, 최초로 누락한 제한조건을 되살리고 위험한 후보 하나만 검사한 셈이다. 후평동고3수학과외에서 확률변수 오답을 다룰 때도 이런 식으로 풀이를 전부 지우기보다, 후보를 허용하는 조건이 첫 식 옆에 남아 있는지부터 확인한다.

조건의 위치를 바꾼 변형 문항

같은 숫자를 다시 쓰지 않기 위해 변형 문제에서는 X의 값과 조건을 바꾸었다. X가 -1, 1, 3 중 하나이고, 각 확률이 매개변수 s로 표현되며 주어진 사건이 X≥1일 때만 확률의 합을 1로 맞추도록 하였다. 이번에는 문제의 문장 앞부분에 있던 조건이 뒤쪽에 배치되어 있었고, 경계값 s=0이 허용되는지도 판단해야 했다.

학생은 먼저 사건 X≥1과 전체 확률조건을 서로 다른 줄에 기록했다. 그다음 s의 후보를 구한 뒤 s=0을 직접 대입하여 확률 중 하나가 0이 되는 것은 허용되지만 음수가 되는 값은 제외했다. 이전 문제에서처럼 숫자를 외워 적용한 것이 아니라, 조건의 위치가 바뀌어도 ‘후보를 구한 뒤 분포 범위를 다시 확인한다’는 절차를 유지했다. 수치가 커지거나 식의 모양이 달라져도 표본공간과 조건사건을 분리하면 판단 순서가 흔들리지 않았다.

해설 없이 남은 판단

마지막에는 새로운 확률변수 문항을 주고, 조건 표시나 검산 지점을 알려 주지 않았다. 학생은 가장 먼저 X가 가질 수 있는 값의 범위를 적고, 주어진 사건을 별도 괄호로 묶었다. 후보를 얻은 뒤에는 확률의 합만 계산하지 않고 각 확률이 0 이상인지 확인했으며, 경계 후보도 원래 식에 다시 넣었다. 평균을 구하기 전에는 음수 값이 차지하는 항을 따로 살펴 예상 부호를 세웠다.

정답 자체보다 중요한 변화는 조건을 계산 뒤에 붙이지 않았다는 점이다. 처음부터 허용되는 표본공간과 확률조건을 분리했기 때문에, 해설 없이도 잘못된 후보를 스스로 찾아냈다. 후평동과외에서 이 사례를 정리할 때에도 학생에게 남은 것은 공식을 더 외운 결과가 아니라, 확률변수의 후보를 얻는 순간 반드시 분포의 범위와 사건 조건으로 되돌아가는 판단이었다.