퇴계동 중1수학과외

두 양의 대응관계에서 비례상수를 찾아가는 풀이

학생이 푼 문제는 물의 양과 그에 따른 무게를 표로 나타낸 것이었다.

표에는 물의 양이 2L, 5L, 8L로 늘어날 때 무게가 각각 2.4kg, 6kg, 9.6kg이라고 적혀 있었다. 질문은 “물의 양을 xL, 무게를 ykg이라 할 때 y를 x에 대한 식으로 나타내고, 7L의 무게를 구하여라”였다.

표에서 시작된 잘못된 한 줄

학생은 표의 첫 번째 수를 보고 곧바로 “2L일 때 2.4kg이므로 식은 y=x+0.4”라고 썼다. 이후 x에 7을 넣어 7.4kg이라는 답을 적었다. 계산 자체는 틀리지 않았지만, 표의 두 양이 어떤 관계인지 확인하기 전에 덧셈식으로 정한 것이 풀이가 어긋난 최초의 판단이었다.

첫 번째 대응값 하나만 보고 식의 모양을 정하지 말고, 모든 대응값에서 같은 비율이 유지되는지 먼저 확인한다.

학생이 쓴 표를 지우지 않고 각 열을 나란히 살폈다. 무게를 물의 양으로 나누어 2.4÷2=1.2, 6÷5=1.2, 9.6÷8=1.2를 차례로 계산했다. 세 경우 모두 같은 값이 나왔으므로 두 양은 정비례하고, 일정하게 유지되는 1.2가 비례상수라는 점을 표시했다. 따라서 식은 y=1.2x가 된다.

이 교정에서는 처음 만든 표와 나눗셈 계산을 그대로 활용하고, 식의 모양만 대응값 사이의 일정한 곱셈 관계에 맞게 고쳤다. 7L를 대입하면 y=1.2×7=8.4이므로 무게는 8.4kg이다. 실제 표의 5L를 다시 넣어 1.2×5=6이 되는지도 확인해 식이 표와 맞는지 검산했다.

표를 문장과 그래프로 바꾸어 확인하기

같은 개념을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. 이번에는 “한 개에 1.5m인 끈을 여러 개 연결할 때 전체 길이는 개수에 따라 어떻게 달라지는가?”라는 문장으로 제시했다. 학생은 먼저 끈의 개수를 x, 전체 길이를 y라고 정했다.

문장에서 ‘한 개에 1.5m’라는 조건을 찾아 y=1.5x라고 적고, x가 1, 2, 4일 때 y가 1.5, 3, 6이 되는 표를 만들었다. 이어 가로축에는 끈의 개수, 세로축에는 전체 길이를 놓고 점 (1, 1.5), (2, 3), (4, 6)을 표시했다. 점들이 같은 정비례 관계를 나타내는지 확인하기 위해 각 점에서 y÷x를 계산해 모두 1.5인지 살폈다.

학생은 “x가 1 증가할 때마다 y가 1.5씩 증가하므로 정비례”라고만 쓰려 했지만, 증가량만으로 판단하지 않도록 고쳤다. 대신 각 대응값의 비가 일정하고, 식이 y=1.5x로 표현된다는 근거를 한 문장으로 덧붙였다. 단위를 확인하자 비례상수 1.5의 단위는 ‘개당 미터’가 되었고, 개수에 1.5를 곱하면 전체 길이가 된다는 뜻도 분명해졌다.

조건이 먼저 주어진 새 문제

힌트 없이 다음 문제를 제시했다. “어떤 정비례 관계에서 x=3일 때 y=12이다. x와 y가 양의 양이고, x=5일 때 y를 구하여라.” 학생은 불필요한 그래프를 먼저 그리지 않고, 정비례 조건을 y=kx로 표시했다. 12=3k이므로 k=4, 따라서 y=4x라고 정리한 뒤 x=5를 대입하여 y=20을 얻었다.

학생은 3과 12가 대응하는 값임을 먼저 표시하고, 12÷3=4로 비례상수를 구했다. 마지막으로 원래 조건을 식에 넣어 4×3=12가 성립하는지 확인했다. 이어 새로 구한 값도 4×5=20으로 계산해 식과 대응관계가 일치하는지 설명했다. 처음처럼 한 대응값을 덧셈으로 해석하지 않고, 조건에서 정비례 여부를 확인한 뒤 비례상수를 정하는 과정을 스스로 재현한 것이다.

이처럼 퇴계동과외 수업에서는 표·식·문장·그래프의 표현이 달라져도 두 양의 대응관계를 먼저 찾고, 일정한 비를 비례상수로 정한 뒤 원래 조건에 대입해 검산한다. 퇴계동중1수학과외에서도 학생이 답만 적는 데서 끝나지 않고, 왜 그 식이 성립하는지와 구한 값이 처음 조건에 맞는지를 직접 설명하도록 풀이를 이어간다.