퇴계동 고3수학과외
정답에서 거꾸로 올라가 찾은 확률변수의 첫 선택
퇴계동 생활권에서 수능형 확률 문제를 함께 점검하던 중, 학생이 계산 결과는 맞게 이어 가면서도 최종 답과 전혀 다른 값을 적어 둔 풀이를 가져왔다. 겉으로는 곱셈과 덧셈의 계산 문제가 아니었다. 확률변수와 사건을 처음부터 같은 것으로 취급한 한 줄이 뒤의 모든 식을 바꾸고 있었다. 춘천고3수학과외 수업에서는 새 풀이를 바로 시키지 않고, 학생의 답안에서 정답을 만드는 식부터 역순으로 표시하게 했다.
상자에 1, 2, 3이 적힌 공이 각각 두 개씩 있다. 공 두 개를 동시에 뽑아 확률변수 X를 ‘뽑힌 두 수의 합’으로 정한다. X가 4 이상일 때, 두 공의 수가 서로 다를 확률을 구하여라.
학생은 먼저 가능한 합을 2, 3, 4, 5, 6으로 적었다. 이어 ‘서로 다른 수’를 조건처럼 곱해 P(X=4)×P(서로 다름)에 가까운 식을 세웠다. 그러나 이 문제에서 X는 결과를 분류하는 확률변수이고, ‘X가 4 이상’은 조건사건이다. 조건이 주어진 뒤에는 전체 경우가 아니라 그 조건을 만족하는 경우만 표본공간으로 남겨야 한다.
답안의 끝에서 처음 흔들린 줄로
학생에게 계산을 처음부터 다시 하게 하지 않고, 마지막에 사용한 분모에서 출발하게 했다. 조건부확률의 분모가 무엇인지 묻자 학생은 전체 선택 경우인 15를 적었다. 그 줄에 표시를 남긴 뒤 한 단계 위로 올라가 보니, 바로 앞에서 ‘X가 4 이상’을 새로운 표본공간으로 바꾸지 않은 것이 드러났다. 이것이 최초 오류였다. 그 뒤에 나온 경우의 수 계산은 각각 맞았지만, 출발한 공간이 틀렸으므로 결론도 맞을 수 없었다.
두 공을 순서 없이 고르면 전체 경우는 15가지다. 합이 4 이상인 경우는 합이 4, 5, 6인 경우로, 각각 3가지, 4가지, 3가지씩 모두 10가지다. 이 중 서로 같은 수는 (2,2), (3,3) 두 가지뿐이다. 따라서 조건을 만족하면서 서로 다른 경우는 8가지이고, 구하는 확률은 8/10=4/5이다. 학생은 정답 옆에 ‘분모는 X≥4인 경우의 수’라고 직접 적었다.
한 줄만 가리고 다시 세운 표본공간
다음 학습지에서는 풀이 중간의 조건 변환 한 줄을 가렸다. 학생은 가려진 부분을 감으로 채우지 않고, 먼저 사건을 문장으로 풀어 썼다. “X≥4가 이미 주어졌으므로 이 조건을 만족하는 결과만 남긴다.” 그 문장을 근거로 합별 경우를 다시 배열한 뒤, 서로 같은 경우 두 개를 제외했다. 교정은 여러 공식을 외우는 방식이 아니라, 첫 식 옆에 조건사건을 써서 분모의 출처를 고정하는 행동 하나로 제한했다.
이번에는 선택지를 없애고 직접 답을 구하게 했다. 조건이 ‘합이 5 이하’로 바뀌고 질문이 ‘두 수가 같은 확률’로 바뀌었다. 가능한 결과는 합 2, 3, 4, 5에 해당하는 1+2+3+4=10가지이며, 같은 수인 (1,1), (2,2)만 조건을 만족하므로 답은 2/10=1/5이다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건의 방향과 묻는 사건을 바꾼 문제였지만, 학생은 먼저 X≤5를 표본공간으로 확정한 뒤 그 안에서 사건을 셌다.
순서가 뒤집혀도 남아 있던 판단
며칠 뒤에는 사건 설명을 먼저 제시하고 확률변수의 정의를 뒤에 배치한 문제를 주었다. 조건은 ‘두 번의 추출 결과 합이 5 이상’이었고, 확률변수는 두 결과 중 큰 수였다. 학생은 이전 풀이의 합 표를 그대로 찾으려 하지 않았다. 먼저 조건에 맞는 결과를 남기고, 그 표본공간 안에서 확률변수가 어떤 값을 갖는지 분류했다. 이는 사건과 확률변수의 역할을 분리한 결과였다.
마지막 검산에서 학생은 해설 없이 정답의 분모와 분자를 각각 설명했다. “분모는 원래 전체 경우가 아니라 조건을 만족한 경우이고, 분자는 그중 확률변수가 묻는 사건에 해당하는 경우”라고 말한 뒤, 제외한 결과를 원래 조건에 다시 대입했다. 퇴계동과외에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실보다, 문제 제시 순서가 달라져도 먼저 조건을 찾아 표본공간을 바꾸고 확률변수의 값을 나중에 분류했다는 점이었다. 춘천고3수학과외의 다음 실전 세트에서도 학생은 같은 순서로 분모의 근거를 표시했고, 가려진 중간식에서도 오류가 시작된 줄을 스스로 찾아냈다.