우두동 중3수학과외

우두동 중3수학과외에서 살펴본 제한된 범위의 최댓값과 최솟값

우두동과외 수업에서 한 학생의 오답노트를 펼쳤을 때, 다음 이차함수 문제가 눈에 들어왔습니다.

함수 y=(x-2)²-3의 정의역이 0≤x≤4일 때, 최댓값과 최솟값을 구하여라.

이 문제는 식의 모양만 보고 판단하는 문제가 아닙니다. 정의역이 모든 실수가 아니라 0≤x≤4로 제한되어 있으므로, 그래프에서 실제로 허용된 부분에 꼭짓점과 양 끝점이 포함되는지를 확인해야 합니다.

오답노트에 남아 있던 풀이

학생은 먼저 식을 보고 “제곱식 앞의 부호가 양수이므로 아래로 내려갔다가 올라가는 그래프”라고 적었습니다. 이어 꼭짓점이 (2,-3)이라는 것까지는 정확히 표시했습니다. 그러나 다음 줄에 이렇게 썼습니다.

“그래프는 위로 열리고 x=2에서 가장 낮으므로 최솟값은 -3이다. 양쪽으로 계속 올라가므로 최댓값은 없다.”

그 뒤에는 x=0과 x=4를 대입하지 않았습니다. 오답노트를 복기하면서 학생은 일반적인 경우와 정의역이 제한된 경우를 나누어 기록했지만, 이 문제에서는 그래프의 전체 모양을 먼저 떠올린 뒤 실제로 사용할 수 있는 구간을 빠뜨린 상태였습니다.

결과보다 먼저 어긋난 지점

최솟값을 -3이라고 한 판단 자체는 이 문제에서 맞습니다. 가장 먼저 잘못된 부분은 “최댓값이 없다”라고 그래프의 무한한 부분을 그대로 적용한 것입니다. 문제에서 허용한 x의 범위는 0부터 4까지뿐이므로, x가 그 밖으로 나가는 그래프는 판단 대상이 아닙니다.

즉, 부호나 그래프의 모양을 틀린 것이 아니라, 정의역의 경계를 그래프에 직접 대응시키지 않은 것이 최초 오류였습니다. 제한된 구간에서는 꼭짓점뿐 아니라 양 끝점의 함수값도 비교해야 합니다.

구간 안의 좌표만 다시 확인하기

교정은 한 가지 행동으로 정리했습니다. 그래프를 본 뒤 반드시 정의역의 양 끝값을 식에 대입하여, 실제 구간의 좌표를 확인하는 것입니다.

• 꼭짓점: x=2일 때, y=(2-2)²-3=-3
• 왼쪽 경계: x=0일 때, y=(0-2)²-3=1
• 오른쪽 경계: x=4일 때, y=(4-2)²-3=1

허용된 그래프에는 꼭짓점 (2,-3)과 양 끝점 (0,1), (4,1)이 모두 포함됩니다. 따라서 이 구간에서 최솟값은 -3, 최댓값은 1입니다. 학생이 이미 구한 꼭짓점 계산은 그대로 두고, 빠졌던 경계값만 추가했습니다.

이때 “위로 열린 그래프이므로 최댓값이 없다”는 문장은 전체 실수에서의 모양에 대한 설명일 뿐입니다. 정의역이 제한되면 그래프의 일부만 남으므로, 그 일부의 가장 높은 점을 다시 찾아야 합니다.

표와 그래프로 표현을 바꾼 연습

다음에는 식을 바로 주지 않고 표와 조건을 함께 제시했습니다.

어떤 이차함수의 그래프가 위로 열리고 꼭짓점이 (−1, 2)이다. 표에 기록된 허용 x값은 −3, −2, −1, 0, 1이며, 각 함수값은 각각 10, 5, 2, 5, 10이다. 이 표에 해당하는 제한된 부분에서 최댓값과 최솟값을 구하여라.

이번에는 식의 부호를 보고 판단할 수 없고, 그래프 전체를 상상해서도 안 됩니다. 학생은 먼저 표의 x값이 정의역의 범위라는 점을 표시했습니다. 꼭짓점의 y좌표는 2이고 표의 양 끝에서 함수값은 10이므로, 실제로 제시된 부분에서는 최솟값이 2, 최댓값이 10이라고 판단했습니다. x=−3과 x=1에서 같은 값이 나오는 이유도 그래프가 꼭짓점을 기준으로 대칭이기 때문이라고 설명했지만, 최댓값과 최솟값을 정하는 데에는 표의 값 자체가 근거라고 덧붙였습니다.

힌트 없이 다시 세운 판단

마지막에는 다음 문제만 남겼습니다.

함수 y=−(x+1)²+4에서 x가 −3보다 크고 1 이하일 때, 최댓값과 최솟값을 구하고 각각의 위치를 설명하여라.

학생은 도움 없이 먼저 정의역을 −3<x≤1로 적었습니다. 꼭짓점은 (−1,4)이고 이 점은 허용 범위 안에 있으므로 최댓값 후보가 4라고 설명했습니다. 이어 경계에 해당하는 x=1에서는 y=−(2)²+4=0을 계산했습니다. x=−3은 포함되지 않으므로 그 점의 함수값을 최솟값으로 확정할 수 없다고 말했습니다.

그래프가 아래로 열리므로 구간의 왼쪽으로 갈수록 값이 작아지지만, x=−3은 제외되어 있습니다. 따라서 함수값은 0에 가까워질 수는 있어도 0이 되지 않으므로 최솟값은 존재하지 않고, 최댓값은 4입니다. 학생은 마지막으로 꼭짓점에 x=−1을 대입해 4가 나오는지, 포함된 오른쪽 경계 x=1에서 0이 나오는지 다시 확인했습니다. 우두동중3수학과외에서 확인하고 싶은 변화는 바로 이처럼 그래프의 모양보다 먼저 정의역의 경계와 포함 여부를 식으로 검증하는 습관입니다.