우두동 중3수학과외
우두동 중3수학과외에서 살펴본 제한된 범위의 최댓값과 최솟값
우두동과외 수업에서 한 학생의 오답노트를 펼쳤을 때, 다음 이차함수 문제가 눈에 들어왔습니다.
함수 y=(x-2)²-3의 정의역이 0≤x≤4일 때, 최댓값과 최솟값을 구하여라.
이 문제는 식의 모양만 보고 판단하는 문제가 아닙니다. 정의역이 모든 실수가 아니라 0≤x≤4로 제한되어 있으므로, 그래프에서 실제로 허용된 부분에 꼭짓점과 양 끝점이 포함되는지를 확인해야 합니다. e-편한세상아파트와 롯데캐슬아파트가 있는 생활권에서 중3수학과외를 진행할 때도, 이런 경계 조건을 식과 좌표로 확인하는 연습을 중심에 둡니다.
오답노트에 남아 있던 풀이
학생은 먼저 식을 보고 “제곱식 앞의 부호가 양수이므로 아래로 내려갔다가 올라가는 그래프”라고 적었습니다. 이어 꼭짓점이 (2,-3)이라는 것까지는 정확히 표시했습니다. 그러나 다음 줄에 이렇게 썼습니다.
“그래프는 위로 열리고 x=2에서 가장 낮으므로 최솟값은 -3이다. 양쪽으로 계속 올라가므로 최댓값은 없다.”
그 뒤에는 x=0과 x=4를 대입하지 않았습니다. 오답노트를 복기하면서 학생은 일반적인 경우와 정의역이 제한된 경우를 나누어 기록했지만, 이 문제에서는 그래프의 전체 모양을 먼저 떠올린 뒤 실제로 사용할 수 있는 구간을 빠뜨린 상태였습니다.
결과보다 먼저 어긋난 지점
최솟값을 -3이라고 한 판단 자체는 이 문제에서 맞습니다. 가장 먼저 잘못된 부분은 “최댓값이 없다”라고 그래프의 무한한 부분을 그대로 적용한 것입니다. 문제에서 허용한 x의 범위는 0부터 4까지뿐이므로, x가 그 밖으로 나가는 그래프는 판단 대상이 아닙니다.
즉, 부호나 그래프의 모양을 틀린 것이 아니라, 정의역의 경계를 그래프에 직접 대응시키지 않은 것이 최초 오류였습니다. 제한된 구간에서는 꼭짓점뿐 아니라 양 끝점의 함수값도 비교해야 합니다.
구간 안의 좌표만 다시 확인하기
교정은 한 가지 행동으로 정리했습니다. 그래프를 본 뒤 반드시 정의역의 양 끝값을 식에 대입하여, 실제 구간의 좌표를 확인하는 것입니다.
- 꼭짓점: x=2일 때, y=(2-2)²-3=-3
- 왼쪽 경계: x=0일 때, y=(0-2)²-3=1
- 오른쪽 경계: x=4일 때, y=(4-2)²-3=1
허용된 그래프에는 꼭짓점 (2,-3)과 양 끝점 (0,1), (4,1)이 모두 포함됩니다. 따라서 이 구간에서 최솟값은 -3, 최댓값은 1입니다. 학생이 이미 구한 꼭짓점 계산은 그대로 두고, 빠졌던 경계값만 추가했습니다.
이때 “위로 열린 그래프이므로 최댓값이 없다”는 문장은 전체 실수에서의 모양에 대한 설명일 뿐입니다. 정의역이 제한되면 그래프의 일부만 남으므로, 그 일부의 가장 높은 점을 다시 찾아야 합니다.
표와 그래프로 표현을 바꾼 연습
다음에는 식을 바로 주지 않고 표와 조건을 함께 제시했습니다.
어떤 이차함수의 그래프가 위로 열리고 꼭짓점이 (−1, 2)이다. 표에 기록된 허용 x값은 −3, −2, −1, 0, 1이며, 각 함수값은 각각 10, 5, 2, 5, 10이다. 이 표에 해당하는 제한된 부분에서 최댓값과 최솟값을 구하여라.
이번에는 식의 부호를 보고 판단할 수 없고, 그래프 전체를 상상해서도 안 됩니다. 학생은 먼저 표의 x값이 정의역의 범위라는 점을 표시했습니다. 꼭짓점의 y좌표는 2이고 표의 양 끝에서 함수값은 10이므로, 실제로 제시된 부분에서는 최솟값이 2, 최댓값이 10이라고 판단했습니다. x=−3과 x=1에서 같은 값이 나오는 이유도 그래프가 꼭짓점을 기준으로 대칭이기 때문이라고 설명했지만, 최댓값과 최솟값을 정하는 데에는 표의 값 자체가 근거라고 덧붙였습니다.
힌트 없이 다시 세운 판단
마지막에는 다음 문제만 남겼습니다.
함수 y=−(x+1)²+4에서 x가 −3보다 크고 1 이하일 때, 최댓값과 최솟값을 구하고 각각의 위치를 설명하여라.
학생은 도움 없이 먼저 정의역을 −3<x≤1로 적었습니다. 꼭짓점은 (−1,4)이고 이 점은 허용 범위 안에 있으므로 최댓값 후보가 4라고 설명했습니다. 이어 경계에 해당하는 x=1에서는 y=−(2)²+4=0을 계산했습니다. x=−3은 포함되지 않으므로 그 점의 함수값을 최솟값으로 확정할 수 없다고 말했습니다.
그래프가 아래로 열리므로 구간의 왼쪽으로 갈수록 값이 작아지지만, x=−3은 제외되어 있습니다. 따라서 함수값은 0에 가까워질 수는 있어도 0이 되지 않으므로 최솟값은 존재하지 않고, 최댓값은 4입니다. 학생은 마지막으로 꼭짓점에 x=−1을 대입해 4가 나오는지, 포함된 오른쪽 경계 x=1에서 0이 나오는지 다시 확인했습니다. 우두동중3수학과외에서 확인하고 싶은 변화는 바로 이처럼 그래프의 모양보다 먼저 정의역의 경계와 포함 여부를 식으로 검증하는 습관입니다.