우두동 고3수학과외
확률의 곱을 쓰기 전, 경계부터 확인한 풀이
우두동 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 문제는 두 사건의 관계를 이용해 확률을 구하는 문항이었다. 춘천고3수학과외 오답 기록을 살펴보니 계산 자체보다 곱셈정리를 적용할 수 있는 범위를 점검하는 습관이 부족했다. 학생은 처음부터 수치가 복잡한지부터 살폈지만, 이 문항에서 결론을 바꾸는 지점은 계산량이 아니라 조건부확률의 분모였다.
상자 선택 사건을 A, 선택된 상자에서 흰 공이 나오는 사건을 B라 하자. P(A)=p이고 P(B|A)=0.6일 때 P(A∩B)를 구하여라. 단, 0≤p≤1이다.
학생은 곧바로 P(A∩B)=P(A)P(B|A)=0.6p라고 적었다. 0<p<1인 일반적인 상황에서는 맞는 식이다. 그러나 문제에 p의 범위가 함께 제시되어 있었는데도 끝점 p=0, p=1을 따로 살피지 않았다. 특히 p=0이면 P(B|A)는 P(A∩B)/P(A) 꼴에서 분모가 0이 되어 정의되지 않는다. 학생은 일반 구간의 규칙을 경계값까지 그대로 연장한 것이 최초의 어긋남이었다.
분모가 사라지는 지점을 먼저 표시하다
풀이를 다시 시작할 때 학생은 수치를 계산하기 전에 조건부확률의 정의를 옆에 적었다.
P(B|A)=P(A∩B)/P(A), 단 P(A)>0.
그다음 p의 범위를 일반 구간과 끝점으로 나누었다. 0<p≤1에서는 곱셈정리를 사용해 P(A∩B)=0.6p를 얻을 수 있다. p=0에서는 사건 A가 일어나지 않으므로 P(A∩B)=0이라고 판단할 수 있지만, P(B|A)=0.6이라는 조건 자체는 정의되지 않는다. 따라서 “곱셈정리로 계산했다”고 말할 수 있는 범위와, 사건의 포함관계만으로 교집합을 판단하는 범위를 분리해야 했다.
이때 학생은 전체 확률을 다시 계산하지 않고 위험한 한 줄만 확인했다. 조건부확률의 분모 P(A)와 실제 표본공간을 서로 다른 칸에 적은 것이다. 춘천고3수학과외 풀이에서도 이처럼 ‘조건 사건’과 ‘그 사건이 일어났을 때의 확률’을 분리하면, 숫자가 커져도 구조를 먼저 볼 수 있다. 반례로 p=0을 대입하자 식 0.6p 자체는 0이지만, P(B|A)=0.6을 근거로 삼는 과정은 성립하지 않는다는 점이 드러났다.
조건의 위치를 바꾼 변형
독립 적용에서는 같은 숫자를 바꾸는 대신 질문의 방향을 뒤집었다.
전체 학생 중 사건 B가 일어난 비율이 0.4이고, B가 일어난 학생 중 사건 A가 일어난 비율이 q이다. P(A∩B)를 구하고, q가 정의되기 위한 조건을 말하여라.
학생은 이전 풀이를 외워 쓰지 않고 먼저 P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0.4q라고 관계를 설명했다. 이어 P(B)=0.4이므로 조건부확률 P(A|B)는 정의될 수 있다고 확인했다. 만약 변형에서 P(B)=0이 되도록 조건을 바꾸면, 교집합은 0이지만 P(A|B)는 정의되지 않는다고 구분했다. 조건부확률의 분모가 어느 사건인지 바뀌었으므로, 원래 문제의 A를 습관적으로 분모에 두지 않은 점이 중요했다.
또 다른 매개변수형에서는 P(B)=t, P(A|B)=0.4, 0≤t≤1로 제시했다. 학생은 t=0의 바로 왼쪽은 정의역 밖이라 시험할 수 없고, 가능한 구간 안에서는 t=0과 t>0을 나누어 보아야 한다고 말했다. t=1에서는 분모가 1이므로 곱셈정리를 그대로 적용했다. 경계의 왼쪽과 오른쪽을 무작정 비교하는 것이 아니라, 먼저 확률의 정의역 안에 있는지를 확인한 것이다.
힌트 없는 확인에서 남은 판단
마지막 문제는 표의 일부만 제시되어 두 사건의 확률과 조건부확률이 섞여 있었다. 학생은 표의 각 항목을 읽은 뒤 ‘전체 표본공간’, ‘조건 사건’, ‘교집합’을 세 줄로 나누어 기록했다. P(A)=0인 행에서는 P(B|A)를 계산하지 않았고, 교집합의 확률만 0으로 처리했다. 반대로 P(A)>0인 행에서는 원식에 값을 다시 대입해 곱셈정리와 표의 교집합 값이 일치하는지 확인했다.
결론을 말할 때도 단순히 정답을 고르는 데 그치지 않았다. “이 곱셈은 조건 사건의 확률이 0이 아닐 때만 조건부확률을 근거로 사용할 수 있고, 경계에서는 교집합과 조건부확률의 정의 여부를 따로 확인해야 한다”고 설명했다. 새로운 표와 방향이 바뀐 문제에서도 분모를 먼저 찾고, 경계값에서 정의 가능성을 점검한 뒤 계산했으므로, 교정한 판단이 힌트 없이 유지되는지까지 확인할 수 있었다.