소양로 중3수학과외

소양로 중3수학과외에서 확인한 ‘범위 안의 최대·최소’ 판단

소양로과외 수업의 주말 복습에서 한 학생이 이차함수의 최대·최소 문제를 다시 풀었습니다.

완성 풀이에서 거꾸로 찾은 첫 어긋남

문제는 다음과 같았습니다.

함수 y=-(x-2)²+5의 정의역이 0≤x≤4일 때, 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

학생은 풀이 첫 줄에 다음과 같이 적었습니다.

“아래로 열린 그래프이고 꼭짓점은 (2, 5)이므로 최댓값은 5이다. 양 끝점의 y값은 각각 1이므로 최솟값은 1이다.”

계산 자체는 맞았습니다. x=0과 x=4를 대입해 y=1을 얻은 것도 정확했습니다. 그러나 풀이를 완성한 뒤 답을 확인하는 과정에서, 그래프를 대략 그린 흔적과 식의 대응을 비교해 보니 최초의 판단이 따로 보였습니다. 학생은 그래프가 아래로 열린다는 모양만 보고 곧바로 꼭짓점이 정의역 안에 있다고 단정했습니다.

이번 문제에서는 실제로 x=2가 0과 4 사이에 있으므로 결론이 우연히 맞았습니다. 그렇지만 정의역 밖에 꼭짓점이 놓인 문제라면 같은 판단이 바로 오답으로 이어집니다. 따라서 뒤의 대입 계산보다 먼저 고칠 지점은 그래프 모양 자체가 아니라, 식에 나타난 좌표와 제한된 x의 범위를 직접 대응하는 과정이었습니다.

다시 푼 것이 아니라, 한 줄의 대응만 바꾸기

전체 풀이를 지우지 않고 첫 판단만 고쳤습니다. 식 y=-(x-2)²+5에서 꼭짓점의 x좌표를 2로 읽은 뒤, 정의역 0≤x≤4와 직접 비교했습니다.

• 꼭짓점의 x좌표 2는 정의역 0≤x≤4 안에 있다.
• 따라서 꼭짓점 (2, 5)의 함수값 5를 범위 안에서 확인할 수 있다.
• 양 끝점은 식에 대입해 f(0)=1, f(4)=1이다.

그래서 최댓값은 5, 최솟값은 1이라고 정리했습니다. 여기서 중요한 변화는 ‘아래로 열린 그래프이므로 무조건 5’라고 쓰지 않고, 꼭짓점의 x좌표가 제한된 범위 안에 있는지 먼저 확인한 것입니다. 이미 올바르게 계산한 양 끝점의 값은 그대로 유지했습니다.

표현을 바꾼 새 문제에서 같은 기준 사용하기

다음 연습에서는 식을 바로 주지 않고, 그래프에 표시된 점과 구간을 읽도록 바꾸었습니다.

포물선 그래프의 일부가 1≤x≤5에서 나타나며, 꼭짓점은 (6, -2)이다. 그래프는 아래로 열린다. 이 구간에서 함수의 최대·최소를 판단하여라.

학생은 이번에는 꼭짓점의 y값만 보고 최댓값을 -2라고 하지 않았습니다. 먼저 꼭짓점의 x좌표 6과 구간 1≤x≤5를 비교해 6은 구간 밖이라고 표시했습니다. 그러므로 꼭짓점은 이 문제에서 직접 사용할 수 없습니다. 이어서 그래프에 표시된 두 끝점의 높이를 읽어 더 큰 높이를 최댓값, 더 작은 높이를 최솟값으로 선택했습니다.

식의 모양을 외워 숫자만 바꾼 풀이가 아니라, 이번에는 그래프에 주어진 위치와 정의역의 양 끝을 대응한 것입니다. 같은 최대·최소 판단이지만 식에서 좌표를 읽는 경우와 그림에서 위치를 읽는 경우를 구분해 적용했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

며칠 뒤 소양로중3수학과외 복습지에서 다음 문제를 별도의 안내 없이 제시했습니다.

함수 y=(x+1)²-4의 정의역이 -3≤x≤0일 때 최댓값과 최솟값을 구하여라.

학생은 먼저 꼭짓점의 좌표를 (-1, -4)로 적고, x좌표 -1이 -3≤x≤0 안에 있다고 설명했습니다. 따라서 최솟값 후보는 -4라고 판단했습니다. 이어 양 끝에서

• f(-3)=(-2)²-4=0
• f(0)=1²-4=-3

을 계산해 최댓값은 0이라고 결정했습니다. 마지막에는 선택한 값을 다시 함수식에 대입해 f(-1)=-4, f(-3)=0임을 확인했습니다.

이번에는 그래프의 모양만으로 결론을 내리지 않고, 꼭짓점의 x좌표가 정의역 안에 있는지 먼저 확인한 뒤 끝점의 값을 비교했습니다. 새 식에서도 같은 기준을 스스로 선택하고, 좌표와 함수값을 재대입해 검산까지 마쳤다는 점에서 제한된 정의역의 최대·최소 판단을 독립적으로 재현했습니다.