소양로 고3수학과외

곱셈정리에서 첫 조건을 잘못 고른 순간 찾기

학생은 계산을 서둘러 끝내기보다 사건의 이름부터 읽었다. 문제는 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있고, 첫 번째 공을 꺼낸 뒤 넣지 않은 채 두 번째 공을 꺼내는 상황이었다. 두 공이 모두 빨간색일 확률을 묻는 문항이었다.

학생의 첫 식은 3/5 × 2/5였다. 첫 번째 빨간 공을 뽑은 뒤에도 전체 공의 수를 5개로 둔 것이다. 곱셈 자체는 맞았지만 두 번째 선택의 조건을 반영하지 못해 답이 틀렸다. 정답에서 거꾸로 올라가 보니 마지막 계산인 3/5 × 2/4는 정확했다. 따라서 계산 줄이 아니라, 두 번째 확률을 정하는 첫 판단에서 풀이가 갈라졌다는 사실이 드러났다.

정답에서 거꾸로 확인한 갈림길

학생은 풀이의 각 줄 옆에 ‘첫 번째 빨간색’, ‘그 조건 아래 두 번째 빨간색’이라고 표시했다. 두 사건을 각각 A, B라고 하면 구해야 할 값은 P(A∩B)이고, 곱셈정리는 다음처럼 적용된다.

P(A∩B)=P(A)P(B|A)

첫 공이 빨간색이라는 조건이 이미 발생했으므로 표본공간은 빨간 공 2개와 파란 공 2개, 총 4개로 바뀐다. 따라서 P(A)=3/5, P(B|A)=2/4이고 결과는 3/5×2/4=3/10이다. 학생은 원래 조건에 후보 식을 다시 대입해 보면서 3/5×2/5가 왜 독립 사건처럼 처리된 식인지 설명했다. 단순히 ‘분모를 잘못 썼다’고 끝내지 않고, 첫 번째 사건이 두 번째 표본공간을 바꾸었다는 점을 오류의 최초 지점으로 기록했다.

두 번째 확률을 쓰기 전, “무엇이 이미 일어났는가?”를 먼저 확인한다.

이 한 줄을 풀이 첫머리에 적은 뒤에는 불필요한 개념 복습이나 계산 반복을 하지 않았다. 고3수학과외에서 자주 나타나는 오답도 마지막 곱셈보다 조건사건을 전체 표본공간으로 되돌리는 첫 선택에서 시작되므로, 수정 범위 역시 그 한 단계로 제한했다. 소양로과외 학습 상담에서도 이처럼 정답률보다 최초 판단의 위치를 먼저 확인하는 방식으로 풀이를 점검할 수 있다.

조건을 숨긴 변형에서 같은 판단을 적용하다

다음 문제는 표현 순서를 바꾸었다. 상자에는 흰 공 4개와 검은 공 3개가 있고, 두 공을 차례로 꺼내 모두 같은 색일 확률을 구하게 했다. 이번에는 ‘첫 번째 공이 흰색인 사건’이 앞에 드러나지 않고, 두 경우를 합쳐야 했다.

학생은 흰색 두 개와 검은색 두 개의 경우를 나누어 표로 만들었다.

• 흰색 뒤 흰색: 4/7 × 3/6
• 검은색 뒤 검은색: 3/7 × 2/6

두 결과를 더해 12/42+6/42=18/42=3/7을 얻었다. 중요한 변화는 숫자가 아니라 조건의 위치였다. 학생은 사건을 먼저 명시하지 않은 문제에서도 각 경우의 첫 추출 결과를 조건으로 삼았다. ‘모두 같은 색’이라는 문장을 곧바로 하나의 곱으로 바꾸지 않고, 서로 겹치지 않는 두 사건으로 분리한 것이다.

또 다른 변형에서는 첫 번째 공을 꺼낸 뒤 다시 넣는다고 조건을 바꾸었다. 학생은 흰색 뒤 흰색을 4/7×4/7, 검은색 뒤 검은색을 3/7×3/7로 계산했다. 앞 문제와 같은 숫자를 외워 적용한 것이 아니라, 복원 여부에 따라 두 번째 표본공간이 유지되는지부터 판정했다. 조건이 바뀌면 P(B|A)의 분모도 함께 달라진다는 판단이 남아 있었다.

해설을 가린 뒤 남은 판단

다음 날에는 정답과 풀이를 모두 가린 채, 빨간 공 5개와 파란 공 4개 중 두 개를 비복원으로 뽑아 적어도 하나가 빨간색일 확률을 구하게 했다. 학생은 ‘적어도 하나’를 바로 곱하지 않고, 여사건인 ‘둘 다 파란색’을 먼저 정했다. 전체 경우에서 조건이 유지되는지 확인한 뒤

1-(4/9×3/8)=1-1/6=5/6

으로 정리했다. 풀이를 마친 뒤에는 사용한 조건에 동그라미를 치고, 각 분모가 전체 추출 전 공의 수인지 이미 하나를 뺀 뒤의 수인지 표시했다. 마지막 검증에서 학생은 오답 식 4/9×4/9를 일부러 적은 뒤 “복원 조건이 없으므로 두 번째 분모와 분자가 동시에 유지될 수 없다”고 반박했다.

정답을 맞혔다는 사실보다, 새로운 수치와 다른 표현에서도 사건을 먼저 고르고 조건부 확률의 표본공간을 다시 만드는 행동이 스스로 나온 점이 확인되었다. 곱셈정리의 오류는 계산을 더 많이 해서 해결된 것이 아니라, 첫 확률 뒤에 어떤 조건이 남아 있는지를 끝까지 추적하면서 바로잡혔다.