소양로 고등수학과외

소양로 고등수학과외에서는 미분 문제를 풀 때 도함수의 부호만 외우지 않고, 정의역에 따라 극대·극소와 최대·최소가 어떻게 달라지는지 확인합니다. 춘천고등학교 학생과 함께 방축거리와 석사4거리 생활권에서 자주 접하는 고등수학 풀이 장면을 떠올리며, “\(f'(7)=3\)”이라는 짧은 조건에서 어디까지 판단할 수 있는지를 다뤘습니다.

“\(f'(7)=3\)”에서 풀이가 멈춘 순간

학생은 \(x=7\)에서 도함수가 3이라는 사실을 보고 곧바로 “극대도 극소도 아니다”라고 적었습니다. 미분 가능한 함수가 정의역 내부에서 극대나 극소를 가지려면 보통 도함수가 0이어야 한다는 정리를 적용한 것입니다. 여기까지는 정의역 안쪽의 정지점에 관한 판단으로는 맞습니다.

그러나 문제의 질문은 극대·극소가 아니라 최대·최소까지 구분하라는 내용이었습니다. 학생은 두 개념을 같은 뜻처럼 연결하면서, \(x=7\)이 구간의 끝점일 가능성을 확인하지 않았습니다. 풀이 첫 오류는 \(f'(7)=3\)을 본 직후 정의역을 읽지 않은 데서 생겼습니다.

도함수가 0이 아니면 내부점에서의 극대·극소 후보가 될 수는 없지만, 끝점에서의 최대·최소 가능성까지 사라지는 것은 아니다.

정의역을 바꿔 오류를 바로잡기

교정에서는 \(f(x)=3x\)를 사용했습니다. 전체 실수에서 보면 함수는 계속 증가하므로 \(x=7\)은 극대·극소가 아니며, 전체 최대·최소도 존재하지 않습니다. 실제로 \(f'(7)=3\)이고 함수값 하나만 계산해서는 어느 종류의 값을 갖는지 결정할 수 없습니다.

이제 정의역을 \([5,7]\)로 제한합니다. 함수값은 \(f(5)=15\), \(f(7)=21\)이므로 \(x=7\)에서 최댓값 21을 갖습니다. 하지만 \(x=7\)을 정의역 내부의 양옆 점과 비교하는 국소적 극대·극소의 문맥으로 보면 해석이 달라집니다. 반대로 정의역을 \([7,9]\)로 바꾸면 \(f(7)=21\), \(f(9)=27\)이 되어 \(x=7\)은 최솟값을 갖습니다. 같은 도함수 값이 정의역의 끝점 위치에 따라 최대·최소 판정에서 다르게 작용한 것입니다.

학생은 처음 쓴 “극대·극소가 아니다”라는 문장을 지우지 않고, 그 아래에 “내부점인지 끝점인지 확인한 뒤 최대·최소를 별도로 판정한다”고 덧붙였습니다. 이렇게 하면 개념을 통째로 바꾸는 대신, 잘못 생략한 조건만 찾아 수정할 수 있습니다. 도함수는 변화 방향과 내부 후보를 찾는 데 쓰고, 최대·최소는 정의역과 함수값 비교까지 포함해 결정합니다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 적용하기

다음 날에는 식을 \(g(x)=2x-1\)로 바꾸고 \(g'(4)=2\)를 제시했습니다. 먼저 \(x=4\)가 정의역 내부인지 묻도록 했습니다. 정의역이 \((1,6)\)이면 양 끝점이 포함되지 않으므로 최댓값과 최솟값을 갖지 않습니다. 정의역이 \([1,4]\)이면 \(g(1)=1\), \(g(4)=7\)을 비교해 \(x=4\)에서 최댓값을 정합니다. 정의역이 \([4,8]\)이면 \(g(4)=7\), \(g(8)=15\)이므로 같은 점은 최솟값이 아닙니다.

이번에는 학생이 도함수 값에 머물지 않고 괄호 안의 구간과 끝점 포함 여부를 먼저 표시했습니다. 특히 \((1,6)\)과 \([1,6]\)을 구별하면서, 극대·극소와 최대·최소를 각각 “주변 비교”와 “전체 정의역 비교”로 나누어 말했습니다.

그래프와 함수값 표로 최종 검산

마지막에는 \(y=3x\)의 증가하는 직선을 직접 그린 뒤, 정의역 \([5,7]\)의 양 끝점을 표시했습니다. 표에 \(x=5,7\)과 함수값 15, 21을 적자 그래프의 오른쪽 끝점이 가장 높다는 사실과 계산 결과가 일치했습니다. 정의역 \([7,9]\)에서는 왼쪽 끝점이 가장 낮게 나타났습니다.

이 검산은 \(f'(7)=3\)을 다시 계산하는 절차와 다릅니다. 도함수는 양수라는 방향 정보를 주고, 그래프와 후보점 함수값 표는 실제 최대·최소 판정이 맞는지 확인합니다. 끝점 누락, 열린 구간 오독, 극대·극소와 최대·최소의 혼동을 한 번에 드러낼 수 있습니다.

자주 묻는 질문

도함수가 0이 아니면 항상 최대·최소가 없나요?

아닙니다. 정의역의 끝점에서는 도함수가 0이 아니어도 최대·최소가 될 수 있습니다.

극대와 최댓값은 같은 뜻인가요?

극대는 주변에서 비교한 값이고, 최댓값은 정의역 전체에서 가장 큰 값입니다. 둘은 일치할 수도 있지만 항상 같지는 않습니다.

정의역이 열린 구간이면 반드시 최대·최소가 없나요?

반드시 그렇지는 않습니다. 함수의 형태에 따라 내부에서 최댓값이나 최솟값을 가질 수 있으며, 끝점이 포함되지 않는다는 사실만으로 결론을 내릴 수 없습니다.

검산할 때 함수값만 비교해도 되나요?

후보점이 빠지지 않았다는 전제가 필요합니다. 도함수와 임계점, 정의역의 끝점을 먼저 확인한 뒤 함수값을 비교해야 합니다.