동면 중3수학과외
동면과외, 그래프에서 최댓값과 최솟값을 읽는 기준
동면과외 수업에서 단원평가 직전 한 학생의 풀이를 확인했다. 강원중학교가 포함된 생활권이나 더샵데시앙1단지와 더샵데시앙3단지 주변에서 수학을 공부하는 학생들이 자주 접하는 유형이지만, 이번에는 유형 이름을 먼저 알려 주지 않고 식과 그래프만 제시했다. 핵심은 그래프에서 최댓값과 최솟값을 판단하는 것이었다.
그래프의 모양보다 먼저 보아야 했던 것
문제에는 다음 함수의 그래프가 제시되어 있었다.
y=-x2+4x+1의 그래프에서 최댓값과 그때의 x값을 구하여라.
학생은 식을 보고 종이에 다음과 같이 적었다.
“-x2이므로 아래로 내려가는 그래프이다. 가운데가 x=2쯤이고, 그림에서 가장 높은 점은 (2, 4)이다. 따라서 최댓값은 4.”
겉으로는 그래프의 방향과 꼭대기 위치를 함께 살핀 것처럼 보였지만, 실제 그래프에는 꼭짓점의 높이가 5로 표시되어 있었다. 학생은 예전에 풀었던 예제에서 꼭짓점의 y좌표가 4였던 것을 떠올려, 비슷하게 생긴 그래프의 높이를 그대로 단정했다.
가장 먼저 어긋난 판단은 계산 마지막의 4가 아니었다. 그래프 모양과 예제 순서만으로 최댓값의 좌표를 정한 것이 첫 오류였다. 그림의 꼭대기를 읽는 문제라면, 눈에 보이는 위치를 식의 값과 대조해야 하는데 그 확인이 빠져 있었다.
한 가지 대응만 다시 세우기
풀이를 모두 지우게 하지 않고, 꼭짓점의 높이를 정하는 행동 하나만 바꾸었다. 학생이 이미 확인한 아래로 열린 방향과 x=2라는 판단은 그대로 두고, 그 x값을 식에 넣어 y좌표를 직접 확인하게 했다.
x=2일 때
y=-(2)2+4(2)+1=-4+8+1=5
따라서 그래프의 꼭대기는 (2, 5)이고, 최댓값은 5이다. 이번 교정에서 새 공식을 외우거나 여러 풀이법을 추가하지 않았다. 그래프에서 읽은 위치를 식에 대입해 같은 위치의 값을 확인한다는 기준 하나만 사용했다.
- 그래프가 위로 열린 경우에는 가장 낮은 점의 y값을 찾는다.
- 그래프가 아래로 열린 경우에는 가장 높은 점의 y값을 찾는다.
- 읽은 x좌표와 y좌표가 식에서도 함께 성립하는지 확인한다.
표로 제시된 문제에서도 같은 기준
다음 연습에서는 그래프를 바로 보여 주지 않고, 일부 점을 표로 제시했다.
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 1 | -2 | -3 | -2 | 1 |
문제는 “표에 나타난 값 중 최솟값과 그때의 x값을 말하라”였다. 학생은 처음에 양 끝의 값 1을 보고 그래프가 양쪽으로 올라가는 모양일 것이라고만 적으려 했다. 그러나 이번에는 모양을 상상해 먼저 답하지 않고, 표의 y값을 차례로 비교했다. 가장 작은 값은 -3이고, 그 값이 나타난 x는 1이었다.
질문이 ‘그래프의 가장 낮은 점’이 아니라 ‘표에 나타난 값 중 최솟값’으로 바뀌었어도, 직접 대응하는 y값을 확인한다는 기준은 같았다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 그래프 대신 표로 표현하고, 최댓값이 아닌 최솟값을 묻는 방식으로 바꾼 독립 적용이었다.
며칠 뒤, 설명까지 붙인 재현
일주일 뒤 동면중3수학과외 시간에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 건넸다.
한 함수의 그래프가 아래로 열린 포물선이며, 가장 높은 점이 (−1, 6)이다. 이 그래프의 최댓값과 그때의 x값을 쓰고, 그 점이 그래프의 최고점임을 식 y=−x2−2x+5에 대입하여 확인하여라.
학생은 먼저 “아래로 열린 그래프이므로 가장 높은 점을 찾는다”고 기준을 말한 뒤, 꼭짓점의 좌표를 (−1, 6)으로 적었다. 이어서
y=−(−1)2−2(−1)+5=-1+2+5=6
이라고 계산했다. 식에서 x=−1일 때 y=6이 나오므로 그래프에 표시된 점과 일치한다고 설명했다. 따라서 최댓값은 6, 그때의 x값은 −1이다.
이번에는 누군가 그래프의 방향이나 좌표를 대신 짚어 주지 않았다. 학생 스스로 가장 높은 점을 고르고, 그 좌표를 식에 다시 대입해 같은 y값이 나오는지 확인했다. 그래프에서 최댓값·최솟값을 판단하는 과정이 모양을 기억하는 일이 아니라, 그래프의 위치와 식의 값을 직접 대응시키는 일로 정리된 장면이었다.