천안 중2수학과외

외각을 보자마자 두 내각을 찾는 연습

천안불당중학교가 포함된 생활권과 불당동문화카페거리 인근 생활권에서 중2수학과외를 진행하며, 한 학생의 삼각형 문제 풀이를 관찰했다. 이날 중심은 삼각형의 외각과 두 내각의 관계였다. 외각의 크기가 그 외각과 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같다는 관계를 그림, 식, 문장으로 바꾸어도 찾아내는 것이 목표였다.

그림에서 시작된 첫 판단

문제에는 삼각형 ABC가 있고, 변 BC를 C에서 연장해 생긴 외각이 표시되어 있었다. 두 내각의 크기는 각각 48도와 67도로 주어졌고, 외각의 크기를 구하라고 했다. 학생은 그림에서 48도와 67도에 동그라미를 치고 둘을 더해 115도라고 적었다. 여기까지는 자연스러웠지만, 곧 외각 옆에 있는 내각을 포함해야 하는지 다시 살폈다.

학생은 “외각은 삼각형 바깥의 각이니까 그림에서 바깥쪽에 보이는 각을 모두 더해야 하나요?”라고 말하며, 외각과 바로 붙어 있는 내각까지 합산하려 했다. 실제 계산을 하기 전 이미 판단이 흔들린 지점은 외각을 이루는 세 각을 구분하지 않고, 보이는 각의 위치만으로 더할 대상을 정한 것이었다.

외각을 기준으로 먼저 ‘이웃한 내각’과 ‘이웃하지 않은 두 내각’을 나누어 표시해 보자.

나는 새로운 공식을 여러 개 제시하지 않고 그림에 표시만 더하게 했다. 외각과 한 변을 공유하며 일직선으로 붙은 내각에는 한 줄 표시를 하고, 외각과 마주 보며 떨어진 두 내각에는 같은 모양의 점을 찍었다. 학생은 외각 옆의 내각을 합에서 빼야 한다는 점을 확인한 뒤, 두 점이 찍힌 내각만 더했다.

학생은 공책에 “외각 = 이웃하지 않은 두 내각의 합”이라고 적고, 48+67=115를 계산했다. 이어 삼각형의 세 내각의 합과 일직선 위의 각 관계를 이용해 115도가 맞는지 확인했다. 외각과 붙은 내각을 65도로 계산하면 115+65=180이므로, 처음 구한 값과도 맞았다. 이미 올바르게 표시한 과정은 그대로 두고, 더할 각을 고르는 판단만 바로잡은 셈이다.

표와 문장으로 바뀐 같은 관계

다음 문제는 그림 대신 다음과 같은 표로 제시되었다.

• 삼각형 PQR에서 Q의 외각: 물음표
• 외각과 이웃하지 않은 내각 P: 52도
• 외각과 이웃하지 않은 내각 R: 71도

학생은 이번에는 외각이라는 말 옆에 ‘바깥’, P와 R 옆에는 ‘떨어진 두 내각’이라고 짧게 적었다. 52+71을 계산해 123도라고 답한 뒤, 질문이 “외각의 크기”인지 “외각에 이웃한 내각의 크기”인지 다시 읽었다. 질문이 바뀌어 이웃한 내각을 묻는다면 180-123으로 구해야 한다는 점도 표 아래에 따로 적었다.

이어 문장형 문제를 풀었다. “한 변을 연장하여 만든 각은 삼각형 안에서 마주 보는 두 각의 합과 같다.” 학생은 ‘한 변을 연장’이라는 표현을 외각으로, ‘마주 보는 두 각’이라는 표현을 이웃하지 않은 내각으로 바꾸어 읽었다. 숫자를 바로 찾지 않고 문장의 각 부분을 그림의 위치와 대응시킨 뒤 식을 세웠다. 같은 관계가 도형, 표, 문장 속에서 표현만 달라졌다는 것을 풀이에 남겼다.

회전한 도형에서 확인한 재현

마지막 독립 문제에서는 삼각형을 90도 돌린 그림이 나왔다. 이번에는 아래쪽 변이 연장되어 외각이 위쪽에 보였고, 두 내각의 크기는 36도와 84도였다. 도움을 주지 않자 학생은 가장 먼저 외각에 한 변을 공유하는 내각을 한 줄로 표시하고, 나머지 두 각에 점 표시를 했다.

“그림이 돌아가도 외각과 붙은 각은 합에 넣지 않습니다. 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합이므로 36+84=120도입니다.” 학생은 이렇게 이유를 말한 뒤, 이웃한 내각을 60도로 계산하여 120+60=180인지 검산했다. 이어 문제의 외각 위치를 다시 확인하고, 자신이 표시한 두 각이 정말 외각과 이웃하지 않았는지도 대조했다.

천안과외 수업에서 확인한 변화는 단순히 120도를 맞힌 결과가 아니었다. 학생은 새로운 배열에서도 먼저 각의 관계를 분류하고, 식을 세운 이유와 일직선 위의 각을 이용한 검산 근거까지 스스로 설명했다. 천안중2수학과외에서 다룬 외각 문제의 핵심은 숫자나 그림을 기억하는 것이 아니라, 외각과 이웃하지 않은 두 내각을 먼저 대응시키는 판단이었다.