서북구 중2수학과외

삼각형의 외각을 읽는 첫 판단

서북구과외 수업에서 학생은 삼각형의 외각과 두 내각의 관계를 다루던 중, 그림에 표시된 각의 위치보다 풀이 예제의 순서를 먼저 따라가려 했다. 극동늘푸른아파트와 불당신도시가 이어지는 생활권의 중학교 학습 사례를 살펴보는 과정이었지만, 핵심은 특정 학교나 지역이 아니라 그림 속 각을 정확히 읽는 일이었다.

그림에서 가장 먼저 어긋난 선택

칠판에는 삼각형 ABC가 있고, 변 BC를 C의 바깥쪽으로 연장한 선분 CD가 그려져 있었다. 따라서 ∠ACD가 외각이고, ∠A와 ∠B가 외각과 떨어진 두 내각이었다. 학생은 문제를 읽으며 ∠ACD를 구해야 한다는 질문까지 확인했지만, 곧바로 예제에서 본 ‘대응점과 대응변을 정한 뒤 합동조건을 찾는’ 순서를 적었다.

학생은 A와 C, B와 D를 대응점처럼 연결하고, 각의 크기를 비교하기 위해 필요한 조건을 찾으려 했다. 그러나 D는 삼각형의 꼭짓점이 아니라 연장선 위의 점이므로, 이 문제의 첫 행동으로 대응 관계나 합동조건을 정할 이유가 없었다. 계산을 시작하기 전 이미 문제의 핵심 관계에서 벗어난 것이다.

외각을 보자마자 합동조건을 찾지 말고, 외각과 떨어져 있는 두 내각부터 표시한다.

한 줄의 기준으로 풀이를 바로잡다

학생은 그림에서 연장된 변과 외각을 굵게 표시한 뒤, 외각 ∠ACD와 한 변을 공유하는 내각 ∠ACB를 찾아 나란히 적었다. 두 각은 일직선 위에 놓인 각이므로 합이 180°라는 점을 먼저 확인했다. 삼각형 ABC의 세 내각의 합도 180°이므로,

∠런맵 ∠B+∠ACB=180°, ∠ACD+∠ACB=180°

를 차례로 써서 두 식에서 공통으로 들어간 ∠ACB를 없앴다. 그 결과 ∠ACD=∠런맵 ∠B임을 얻었다. 예전처럼 도형 전체의 대응을 찾는 대신, 연장된 변의 바깥각과 마주 보는 두 내각을 먼저 연결한다는 기준만 남겼다. 이미 정확히 읽은 각의 이름과 180° 관계는 그대로 유지했다.

그림이 사라진 조건 문장에 적용하기

다음 문제는 그림 없이 제시되었다. “삼각형 PQR에서 QR을 R의 바깥쪽으로 연장한 직선 위에 점 S를 잡았다. ∠P=47°, ∠Q=68°일 때 ∠PRS를 구하여라.” 학생은 숫자를 계산하기 전에 ‘R에서 만든 바깥각’이라는 문장을 표시하고, 외각과 떨어진 두 내각이 ∠P와 ∠Q라는 것을 적었다. 질문이 외각의 크기를 직접 묻고 있으므로 47°+68°를 계산해 115°라고 답했다.

이번에는 그림의 모양을 따라가는 대신 조건의 순서를 바꾸어 확인했다. “∠PRS가 132°이고 ∠P가 57°일 때 ∠Q를 구하여라”라는 질문에서는 외각=두 내각의 합을 먼저 세워 132°=57°+∠Q로 정리했다. 따라서 ∠Q=75°이다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 외각을 구하는 문제에서 두 내각 중 하나를 찾는 문제로 질문의 방향이 달라졌고, 학생은 같은 관계를 식으로 다시 세웠다.

힌트 없이 재현한 최종 장면

수업 후 제시한 새 문제는 다음과 같았다. “삼각형 XYZ에서 YZ를 Z의 바깥쪽으로 연장하여 점 T를 잡았다. ∠XZT는 124°, ∠X는 51°일 때 ∠Y를 구하고, 왜 그렇게 계산했는지 설명하여라.” 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 Z에서 만든 바깥각이라는 표시를 했다. 이어 외각과 떨어진 내각이 ∠X와 ∠Y임을 찾아 ∠XZT=∠X+∠Y라고 썼다.

124°=51°+∠Y이므로 ∠Y=73°라고 계산한 뒤, 51°+73°=124°가 되어 외각의 크기와 일치한다고 검산했다. 또한 남은 내각 ∠XZY는 56°이고, 124°+56°=180°이므로 연장선에서 생긴 일직선의 각 관계도 맞는다고 설명했다. 서북구중2수학과외 수업에서 확인한 독립 판단은 정답 자체보다, 새 그림과 질문에서도 외각을 먼저 찾고 두 내각의 합으로 연결한 첫 선택과 검산 근거를 스스로 재현했다는 점에 있었다.