부평구 고1수학과외
부평구 고1수학과외, 순열의 뜻으로 정답 후보를 검산한 사례
갈산동 생활권의 한 학생은 순열 문제에서 계산 결과는 얻었지만, 그 수가 정말 조건에 맞는지 설명하지 못했다. 서로 다른 세 글자를 일렬로 배열하는 문제에서 학생은 단순히 \(3!\)을 적용해 6을 적었고, 배열의 순서가 달라지면 다른 경우로 세는 이유는 말하지 않았다.
계산보다 먼저 확인한 ‘순서의 의미’
학생이 막힌 지점은 공식 암기가 아니라 순열의 뜻이었다. 교사는 각 배열에서 첫째 자리와 둘째 자리의 위치가 바뀌면 새로운 경우가 되는지 질문했다. 학생은 세 문자를 실제 자리별로 나누어 보면서, 선택한 문자뿐 아니라 배치 순서까지 경우를 구분하는 것이 순열임을 확인했다.
순열은 일정한 대상에서 몇 개를 골라 순서를 정해 배열하는 경우의 수이다.
이후 학생은 계산을 다시 하기 전에 문제의 조건에서 ‘모두 사용’인지 ‘일부만 선택’인지 표시했다. 네 명 중 세 명을 순서 있게 세우는 문제에서는 첫 자리 4가지, 다음 자리 3가지, 마지막 자리 2가지로 이어져 \(4\times3\times2=24\)가 된다는 근거를 남겼다.
조건이 문장으로 바뀐 문제에 적용하기
다음 문제는 숫자 1, 2, 3, 4 중 서로 다른 세 개를 골라 세 자리 수를 만드는 경우의 수를 묻되, 백의 자리에 1이 올 수 없다는 조건을 붙였다. 학생은 전체 순열 \(4\times3\times2\)를 먼저 계산하지 않고, 백의 자리에 올 수 있는 숫자를 2, 3, 4로 제한했다.
- 백의 자리: 3가지
- 십의 자리: 남은 숫자 3가지
- 일의 자리: 남은 숫자 2가지
따라서 경우의 수는 \(3\times3\times2=18\)이다. 이는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 배열 조건을 문장으로 해석해 선택 가능한 첫 자리를 바꾼 사례였다.
처음 보는 표현에서 답을 확인한 방법
마지막에는 숫자 대신 네 개의 기호 \(가, 나, 다, 라\)를 일렬로 배열하되 ‘가가 맨 앞에 오지 않는다’는 문제를 제시했다. 학생은 전체 배열 \(4!=24\)에서 가가 맨 앞인 배열 \(3!=6\)을 제외해 \(24-6=18\)을 구했다.
앞서 얻은 18과 같은 결과가 나왔지만, 이번에는 자리별 곱셈이 아니라 전체 경우에서 조건에 어긋나는 경우를 제외하는 방식이었다. 학생은 두 풀이가 모두 순서를 구별하고, 금지된 배열을 정확히 제외한다는 점을 적어 정답 후보의 근거를 확인했다.